01隐形圆及最值问题-2024年中考数学几何模型必考点

隐形圆及最值问题 一、知识导航 “隐形圆”问题是在数学中经常遇到的一类问题，通常指的是在题目条件中没有直接给出有关圆的信息，但是通过分析可以发现这些信息隐藏在题目的条件中。这类问题通常需要通过分析和转化，发现圆，然后利用圆的知识来解决问题。 隐形圆问题常见的类型有： 1. 隐含着圆的定义。这类问题中，可能需要通过分析题目条件，找到与圆相关的点、线等元素。 2. 定弦定角隐形圆模型。这类问题中，通常会给定一条弦和一个角度，需要找到这个角度所对的圆周角或者圆心角，从而找到与这个弦和角度相关的圆。 解决隐形圆问题的方法通常包括： 1. 仔细分析题目条件，找出与圆相关的元素，如点、线、角等。 2. 利用圆的基本性质，如半径、直径、圆心角、圆周角等，推导出与圆相关的方程或不等式。 3. 应用圆的知识，如圆的方程、圆的性质、圆的交点等，解决问题。 需要注意的是，隐形圆问题通常需要较高的数学素养和解题技巧，需要多做练习和积累经验。同时，解题过程中需要注意逻辑严密和推理精确，避免出现错误或遗漏。 本文主要从以下四个方面去介绍： 一、从圆的定义构造圆（折叠类问题） 二、定边对直角 三、定边对定角 四、四点共圆 二、典例精析 一、从圆的定义构造圆（折叠类问题） 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 1、几个点到某个定点距离相等可用圆 （定点为圆心，相等距离为半径） 例：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______ 例：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________ 2、动点到定点距离保持不变的可用圆 （先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径） 例：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随 之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是 （ ） 3.（折叠类） 如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是　　． 【分析】如图，延长交于，当时，点到的距离最小，利用，得到求出即可解决问题． 解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小．（点在以为圆心为半径的圆上，当时，点到的距离最小） ，， ， ， ，，， ，， ， ， ， 点到边距离的最小值是1.2． 故答案为1.2． 二、定边对直角 知识回顾：直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义： 例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆． 如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 【分析】 由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 例：如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ） A．π B．π C．π D．2π 解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆． 例：（2018•日照）如图，已知点，，在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积为1； （3）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入求得的值即可； （2）过点作，交与点，先求得直线的解析式为，设点，则，然后可得到与之间的关系式，接下来，依据的