4.3.1课时2 等比数列的概念 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的概念 学习目标 1.理解等比数列的函数特征. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习活动 目标一：理解等比数列的函数特征. 任务：类比等差数列的函数特征，探索等比数列的函数特征. 问题1：在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，即，那么对于等比数列其中，其满足什么函数特征？ 参考答案：由可知，当时，等比数列的第项是指数型函数当时的函数值，即.如图所示. 思考1：任给指数型函数（为常数，），其构成的等比数列首项和公比分别是多少？ 参考答案：由题可知，构成一个等比数列，其首项为，公比为. 思考2：等比数列的图象与指数函数图象有什么不同？ 参考答案：前者是单个点图，后者是连续的曲线. 问题2：类比指数函数的性质，当公比时，等比数列的单调性是怎样的？（提示：对首项分和讨论） 【归纳总结】 的单调性不仅与的取值范围有关，也与的正负有关，所以我们可以总结如下： 单调递减 单调递增 不变 单调递增 单调递减 不变 目标二：能根据等比数列的定义推出等比数列的性质. 任务1：推导等比数列的相关性质1. 问题1：在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，那么在等比数列中，若m＋n＝p＋q，则am，an，ap，aq存在怎样的关系，如何证明？ 参考答案：若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq， 证明：，又因为m＋n＝p＋q，所以. 【归纳总结】 等比数列性质1：在等比数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq， 特别地，当m＋n＝2p，那么. 练一练： 等比数列中，，是方程的两个根，则　 　． 参考答案：解：由题意，得，， 所以，，故，由等比数列的性质，可知，所以，故答案为：． 任务2：推导等比数列的性质2. 问题1：已知b>0且b≠1，如果数列是等差数列，那么数列是什么数列？ 参考答案：等比数列.证明：设数列的公差为d，所以，首项为，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 问题2：如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是什么数列？ 参考答案：等差数列.设等比数列的公比为q，且q＞0，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 【归纳总结】 性质1.已知b>0且b≠1，如果数列是等差数列，那么数列是以为首项，为公比的等比数列. 性质2. 如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是以为首项，为公差的等差数列. 目标三：能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 复利：指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，即若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，a（1+r），，… 任务1：利用等比数列解决理财问题. 用10 000元购买某个理财产品一年，若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ 参考答案：解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比， 所以10490.7 所以，12个月后的利息为（元）. 【归纳总结】 用等比数列模型解决复利问题的方法： 1. 抽象：即将实际问题抽象、简化为数学问题； 2. 梳理：确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子，梳理出变量之间的关系； 3. 转化：将复利问题转化为相应的等比数列模型； 4. 求解：利用数学方法求解. 任务2：利用等比数列解决生产问题. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 问题1：题目中涉及几个变化率？分别对应什么数列模型？ 参考答案：产量、产品合格率；前者对应等比数列模型，后者对应等差数列模型. 问题2：如何求解题目中的问题？ 参考答案：解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，由题意，知， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 （ ） 由计算工具计算（精确到0.1），并列表 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且<100即可. 由，得. 所以，当时，递减. 又 <100,所以当24时, <100 所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内. 学习总结 任务：回答下列关问题，构建知识导图. “函数性质”、“性质”、“等比数列模型” 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$