7.4.2超几何分布导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4 二项分布与超几何分布 7.4.2 超几何分布 一、学习目标 课程标准 学科素养 1．理解超几何分布及其推导过程； 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1．数学抽象； 2．数学建模； 3．数学运算 二、阅读教材(77～80页) 在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品质量．假定一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的概率分布如何？用怎样的数学模型刻画上述问题？ 三、合作探究、深度学习 学习目标一：超几何分布的概念 问题：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. (1)采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？ (2)如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？ 归纳1：超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m, m＋1, m＋2, …, r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X服从超几何分布． 名师点津： (1)超几何分布中要求抽取过程中是不放回抽样. (2)超几何分布中每次抽取对应事件的概率是变化的. (3)当n远小于N时，每抽取一次对N的影响很小，此时超几何分布可以用二项分布近似. 学习目标二：典例解析 例1 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测， 求至少有1件不合格的概率. 探究：服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 思考交流：从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是“A”的概率如何用组合数形式表示/ 例3 一袋中有100个大小相同的小球，其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2)分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例， 求误差不超过0.1的概率. 思考：二项分布与超几何分布有怎样的区别和联系？ 学习目标三：自我评价 1. 一个袋子里装有4个白球、5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为( ) A． B． C． D． 2. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( ) A． B． C． D． 3．一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用（用完即为旧的），用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则的值为( ). A． B． C． D． 4. 在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的均值是 . 5. 从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛， 则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为 . 四、总结提升： 五、当堂检测： 1. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率. 2. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班. 假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率. 3. 举出两个服从超几何分布的随机变量的例子. 参考答案： 问题：(1)采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立， 此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). (2)不服从，根据古典概型求X的分布列，从100件产品中任取4件有 种不同的取法，从100件产品中任取4件，次品数X可能取0,1,2,3,4. 恰有k件次品的取法有种. 由古典概型的知识，得随机变量X的分布列为 ， 如下表所示 X 0 1 2 3 4 P 超几何分布案例理解： 个产品中有个优品个次品,从个产品中抽出个恰好有个次品的概率是 . 解：利用古典概型的公式 那所求概率事件中“” 为(个产品抽个，不管有多少个次品)，而“个恰好有个次品”意味着“事件的样本点个数”为(3个优品从个优品抽，个次品从个次品抽)，所以. 这题是超几何分布，“抽个产品有个次品”的潜台词可理解是“一次性拿个产品，不放回抽样”的. 例1 解: 设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1)，则