册第22章四边形集训课堂练素养1.构造三角形中位线的常用方法习题课件 2023—2024学年冀教版数学八年级下册

冀教版 八年级下 1.构造三角形中位线的常用方法 练素养 第二十二章 四边形 1 2 3 4 温馨提示：点击 进入讲评 习题链接 如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，求DG的长． 1 3 4 5 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是∠BAC的平分线，CF⊥AE于点F，连接DF，若AB＝10，AC＝6.求DF的长． 2 【解】延长CF交AB于点G，交AD于点H. ∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF. ∵AF⊥CG，∴∠AFG＝90°＝∠AFC. 8 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥ AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.证明： 3 (1)△BEF是等腰三角形； ∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°＝∠ABC. ∴∠BEF＝90°－∠ECB＝67.5°，∠CFD＝90°－ ∠DCF＝67.5°. ∴∠BEF＝∠CFD. 又∵∠BFE＝∠CFD，∴∠BEF＝∠BFE. ∴BE＝BF，即△BEF是等腰三角形． 13 (1)用数学的眼光观察 如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM； 4 (2)用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM＝∠F； 【证明】由(1)知PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的 中位线， ∴PN∥BC，PM∥AD. ∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM. 由(1)知∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F. (3)用数学的语言表达 如图③，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明． 【点方法】 本题考查了三角形中位线定理及平行线的性质，巧妙构造三角形的中位线是解此题的关键． 21 【解】如图，连接DE. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°，AC＝BC＝4. ∵D，E分别为边AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线，CE＝BC＝2. ∴DE∥AC，DE＝AC＝2. 又∵EF⊥AC，∴EF⊥DE，∠EFC＝90°. ∴∠DEF＝90°，∠CEF＝90°－∠C＝30°.∴CF＝CE＝1. 在Rt△CEF中，EF＝＝＝. ∵G为EF的中点，∴EG＝EF＝. 在Rt△DEG中，DG＝＝＝. 在△AFG和△AFC中， ∴△AFG≌△AFC(ASA)． ∴AG＝AC，GF＝CF，即F是CG的中点． 又∵D是BC的中点，∴DF是△CBG的中位线． ∴DF＝BG＝(AB－AG)＝(AB－AC)＝×(10－6)＝2. 【证明】在△ABC中，∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB＝∠ACE＝∠ACB＝22.5°. (2)BD＝(BC＋BF)． 【证明】如图，延长AB至点M，使得BM＝AB，连接CM. 由题知D是AC的中点， ∴BD∥MC，BD＝MC. ∴∠BFE＝∠MCE. 由(1)得∠BEF＝∠BFE，BE＝BF， ∴∠BEF＝∠MCE.∴ME＝MC. ∵BM＝AB，AB＝BC，∴BM＝BC. ∴BD＝MC＝ME＝(MB＋BE)＝(BC＋BF)．　 【证明】∵P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点， ∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线． ∴PN＝BC，PM＝AD. ∵AD＝BC，∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM. 【解】△CGD是直角三角形，理由如下：取BD的中点P，连接PM，PN. ∵N是CD的中点，M是AB的中点． ∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线． ∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD. ∵AD＝BC，∴PM＝PN.∴∠PNM＝∠PMN. ∵PM∥AD，∠ANM＝60°，∴∠PMN＝∠ANM＝60°. ∴∠PNM＝∠PMN＝60°. ∵PN∥BC，∴∠CGN＝∠PNM＝60°. 又∵∠CNG＝∠ANM＝60°， ∴△CGN是等边三角形．∴CN＝GN. 又∵CN＝DN，∴DN＝GN. ∴∠NDG＝∠NGD＝∠CNG＝30°. ∴∠CGD＝∠CGN＋∠NGD＝90°.∴△CGD是直角三角形． $$