6.4.3余弦定理、正弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教版必修第二册A版 学 校：昆明长鸿实验中学 讲 师：许 鸥 日 期：2024年3月14日-3月15日（第4周） 6.4.3《 余弦定理、正弦定理 》 （ 4 课 时 ） 教学目标 学习目标： 1.认识与理解用向量法推导余弦定理的过程，正弦定理的推导过程(数学抽象、逻辑推理）； 2.牢固掌握余弦定理及其推论，正弦定理及其变形，并能利用它们求解三角形中的边角问题以及判断三角形的形状（数学运算、逻辑推理）. 教学重点：余弦定理及其推论，正弦定理及其变形及其实际应用. 教学难点：余弦定理，余弦定理推论的实际应用 一 情景问题1（导学） 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名. 现有三个岛屿,岛屿与之间距离因之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得的距离分别为和，且的夹角为，那么岛屿间的距离如何计算呢？ 相信各位同学通过今天的学习，将能解答这一问题. 二 探究新知1——余弦定理（互学） （一）思考1 在中，三个角所对的边分别是，怎样用和表示? 探究1： 如图，设 则据向量减法的三角形法则可知 即 ① , 又据数量积的定义及性质可得 对①两边求平方可得 即 即 同理可得 二 探究新知1——平面向量数量积的坐标表示（互学） （二）余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍. 已知在中，所对的边分别为，则满足 注：利用余弦定理，我们可以从三角形的两边及其夹角直接求出第三边. 三 探究新知2——余弦定理的推论（互学） （一）思考2 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题吗? 探究2： 由余弦定理 可得 同理可得 三 探究新知2——余弦定理的推论（互学） （二）余弦定理的推论 三角形中任何一个角的余弦值，等于组成这个角两边的平方和减去这个角所对边的平方，再除以组成这个角两边乘积的两倍. 已知在中，所对的边分别为，则满足 ；； 注：利用余弦定理推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角. 四 探究新知3——余弦定理与勾股定理的关系（互学） 探究3： 如果中有一个角是直角， 例如，这时 由余弦定理可得 ,这就是勾股定理. 由此可见: 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. （一）思考3 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗? 五 探究新知4——三角形的元素与解三角形（互学） 一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做 . 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 . 三角形的元素 解三角形 六 小组合作、讨论交流(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这三道题考察了余弦定理及其推论. 例1 已知在中，则 . 例2已知在中,若,求. 五 成果展示(迁移变通) 例1 已知在中，则 . 解：∵ 已知在中， ∴据余弦定理可得 故 提示：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍. 五 成果展示(迁移变通) 例2已知在中,若,求. 解：∵ 已知在中,若 ∴可设 ∴据余弦定理推论可得 又∵ ∴ 同理可得 又∵ ∴ , ∴ , 故是直角三角形. 提示： 三角形中任何一个角的余弦值，等于组成这个角两边的平方和减去这个角所对边的平方，再除以组成这个角两边乘积的两倍. 六 情景问题2——三江并流与距离求解（导学） 三江并