2024年九年级中考数学复习专题课件 一线三垂直

专题之 一线三垂直 中考数学专题复习 前言 专题说明 一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转 ，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。 90° 目录 01 方法技巧 02 模型应用 03 变式应用 04 拓展提升 05 归纳总结 第一部分 方法技巧 模型一 “全等型”一线三垂直模型 应用： （1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； （2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直” 方法技巧 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA D B A E C 证明： ∵∠D=∠BCA=∠E=90°， ∴∠D+∠B=∠BCA+∠ACE． ∴∠B=∠ACE．， 又∵BC=AC ∴Rt△BDC≌Rt△CEA 模型一 “全等型”一线三垂直模型 应用： （1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； （2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直” 方法技巧 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA A E O x y D B C 证明： ∵∠D=∠BCA=∠E=90°， ∴∠D+∠B=∠BCA+∠ACE． ∴∠B=∠ACE．， 又∵BC=AC ∴Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 “相似型”一线三垂直模型 应用： （1）“相似型”三垂直基本应用 （2）平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。作辅助线方法和模型1一样 （3）平面直角坐标系中运动成直角 方法技巧 如图二,∠B=∠C=∠ADE 结论：△ABD∽△DCE（一线三直角） 证明： ∵∠B=∠C=∠ADE， ∴∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC． ∴∠BAD=∠EDC， △ABD∽△DCE B A E C D B A E C D B A E C D 第二部分 模型应用 应用一：“全等型”三垂直基本应用 【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． E C A B E D N M C A B E D N M 【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【解答】（1）证明： ①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE． 又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE． ∴DE＝CE+CD＝AD+BE． 应用一：“全等型”三垂直基本应用 【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； C A B E D N M 应用一：“全等型”三垂直基本应用 （2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE． 证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE． ∴DE＝AD﹣BE． 【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． C A B E D N M 【典例2】已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点． （1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA＝2，OB＝4，求C点的坐标； （2）如图2，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式4m+4n﹣9的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；