4.2.2 课时4 等差数列的前n项和公式学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时4 等差数列的前n项和公式 学习目标 1.探索并掌握等差数列的前n项和的相关性质. 2.理解等差数列前n项和的函数特性，能求解等差数列前n项和的最值. 学习活动 目标一：探索并掌握等差数列的前n项和的相关性质. 任务1：阅读教材P22探究栏目，探索等差数列前n项和的表达式特征. 问题1：数列是什么数列？并证明. 参考答案：等差数列. 证明：由条件可知，所以，其中.所以，其中.根据数列前n项和定义可知，，即，又当时，，所以.而又，所以数列是等差数列. 问题2：在上述条件下，令，此时数列数列还是等差数列吗？说明理由. 参考答案：不是等差数列. 证明：由条件可知，所以，其中.所以，其中.根据数列前n项和定义可知，，即，又当时，，所以，故数列不是等差数列. 思考：如何利用数列前n项和的系数关系判断数列是否为等差数列？ 【归纳总结】 对于数列前n项和，当时，数列是等差数列；当时，数列不是等差数列. 任务2：探究等差数列前n项和的其他性质. 已知首项为，公差为的等差数列，其前n项和为. 问题1：数列是什么数列？ 问题2：,,,…,是什么数列？ 参考答案：1.根据等差数列前n项和公式有：，所以，所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列. 2. 由求和公式可知： ； 根据等差数列定义，可知,,,…,是以为首项，位公差的等差数列. 【归纳总结】 等差数列前n项和的性质：首项为，公差为的等差数列，其前n项和为. 性质1：数列是以为首项，为公差的等差数列； 性质2：数列,,,…,是以为首项，位公差的等差数列. 练一练： 已知数列的前项和，则下列结论正确的是（       ） A．数列是等差数列 B．数列是递减数列 C．，，成等差数列 D．，，成等差数列 参考答案：对于A：， ∴时， 时，．时，满足 ∴数列是等差数列，故A正确； 对于B：因为，因此数列是单调递增数列，故B错误； 对于C：因为，且是等差数列，因此，，是等差数列，故C正确． 对于D：由前n项和性质：数列,,,…,是以为首项，位公差的等差数列知，成等差数列，故D正确； 故选：B 目标二：理解等差数列前n项和的函数特性，能求解等差数列前n项和的最值. 任务1：利用等差数列前n项公式解决与之相关的问题. 已知等差数列{}的项和为，若，公差d＝－2，判断是否存在最大值. 问题1：根据前n项和定义，说说如果存在最大值，数列通项{}应该满足什么条件？ 参考答案：根据题意可知，若最大，则，且，即，. 问题2：判断是否存在最大值，如果存在，求出的最大值；如果不存在，说明理由. 参考答案：根据题意，可知，令，解得，所以当或时，最大，最大值为. 任务2：探索等差数列{}的前项和的函数性质. 问题1：我们知道等差数列{}的前项和：，类比之前的函数，说说该式是什么类型函数？其相应系数分别是多少？ 参考答案：，因此是关于n的二次函数，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项系数为0. 问题2：类比二次函数的性质，有哪些函数性质？ 【归纳总结】 等差数列的前n项和的函数性质： 1.定义域：； 2.单调性与最值： 当时，在对称轴(其中[ ]表示取整）左边是递减的数列，在的右边是递增的数列，且当，有最小值；； 当时，在对称轴(其中[ ]表示取整）左边是递增的数列，在的右边是递减的数列，且当，有最大值. 问题3：等差数列中，若，公差d＝－2，用的函数性质判断其前n项和是否存在最大值. 参考答案：因为由a1＝10，d＝－2， 因为 所以，当n取与 最接近的整数，即5或6时，最大，最大值为30. 【归纳总结】 1.在等差数列中，求的最大(小)值的方法： (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2.寻求正、负项分界点的方法： (1)寻找正、负项的分界点来寻找． (2)利用到的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点． 练一练： 已知是等差数列，，其前5项和． （1）求的通项； （2）求前项和的最大值． 参考答案：解：（1）由题意可得，解得，，； （2）， 当或时，有最大值，最大值为． 学习总结 任务：回答下列关问题，构建知识导图. “等差数列前n项和公式性质”、“最值” 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$