4.2.2 课时3 等差数列的前n项和公式 学案-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列的前n项和公式 学习目标 1.探索并推导出等差数列前n项和公式 2.理解等差数列前n项公式的特点并解决相关问题. 学习活动 目标一：探索并推导出等差数列前n项和公式. 任务1：根据材料，探索等差数列前n项和公式推导方法. 情境1：据说200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100=？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却 用下面的方法迅速算出了正确答案： （1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，①前100项的和问题 问题1：高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质？ 参考答案：等差数列中，. 问题2：如何用高斯的方法求1＋2＋3＋…＋100+101=？ 参考答案：原式 . 问题3：如何求数列①的前n项和？ 参考答案：当n为偶数时， 于是有 当n为奇数时， 有 所以，对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n 情境2：如图所示：在该三角形中，第一层1个小球，第二层2个小球，第三层3个小球，依此类推.前n层的小球总数是多少？ 解：将上述三角形补成平行四边形，如图. 因此根据平行四边形的性质可知，该四边形每一层都有n+1个小球，总共有n层，所以，即 思考1：在求上述问题时，我们通过对n分奇偶进行了讨论，那么结合情境2能否设法避免分类讨论呢？ 参考答案：，，所以，即 思考2：能否将上述方法推广到求等差数列的前n项和？ 参考答案：倒序相加法：，，所以，因为，所以，即. 【归纳总结】 等差数列前n项和公式1： 注：其中是等差数列前n项的平均数. 思考3：等差数列前n项和能否用，来表示呢？ 参考答案：方法1：将代入前n项和公式，可得； 方法2： . 【归纳总结】 等差数列前n项和公式2：. 练一练： 在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 参考答案：解：S10＝＝5(a1＋a10)＝120， ∴a1＋a10＝24.故选B. 目标二：理解等差数列前n项公式的特点并解决相关问题. 任务：利用等差数列前n项公式解决与之相关的问题. 例1.已知数列{}是等差数列. （1）若=7, =101,求； （2）若=2, = ,求； （3）若=，d=, =5,求； 参考答案：解：（1）因为=7, =101，根据公式，可得=2700. （2）因为=2, = ， 所以d= .根据公式 ，可得 = （3）把=，d= , = 5代入 ，得 整理，得 解得或（舍）,所以 思考4：如何合理选择公式1、2解决等差数列的前n项和问题？ 【归纳总结】 等差数列的前n项和公式的应用： 1.（1）当已知首项、末项和项数时，可采用公式一；（2）当已知首项、公差和项数时，可采用公式二． 2.两个公式共涉及、、、及五个基本量，知三求二. 例2.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 参考答案：解=310, =1220, 把它们代入公式 得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 思考5：上述题目如果只知道其中一个条件，能确定这个等差数列吗？ 【归纳总结】 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定. 练一练： 已知等差数列{an}中，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 参考答案：解：由Sn＝＝＝－1 022， 解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171. 学习总结 任务：回答下列关问题，构建知识导图. “倒序相加法”、“等差数列前n项和公式” 参考答案： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$