湖南省株洲市第二中学2024年第四届“同济大学”杯数理化联赛高一数学试题

株洲市二中2024年第四届“同济大学”杯数理化联赛 高一数学试题 考试时间:120分钟 一、单选题 1. 设集合A=(xy=)l×y=E{-1,0,l,那么集合A满足条件“x++=2”的元素个数为 _~ B.6 C.9 A.4 D.12 2. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0{}~90}之间角的三角函数值,而这个范围内的三角函 数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值,则tan890*的值约为( ) 10 30d 40d 500 60 700 20d 800 0.1736 10.3420 sina 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A.-0.18 C.0.14 B.-0.14 D. 0.18 3.如图,在&4BC中,乙BAC--,A-2DB,P为CD上一点,且=mAC+14B,若4C)-3.14B-4, 则AP.CD的值为( _ 7 4.命题“对任意的me[-1.1],总存在唯一的xe[0,3],使得x3-2x-am-1=0”成立的充分必要条件是( ) A. -2<a<2 B.-1<a1 C.-1a<I D. ora<1. 5. 已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,neN.且n>2,若a”+b”=c”,则角C不可能( _ B.为钝角 A.为直角 C.为锐角/ D. 在60*~90*之间 6. 已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+y)+f(x-y)=2f(x)/0),f(0)=1,f(3x+1)=-f(-3x+1),则 7 。 C.0 A. -2 B. -1 D.1 7. 已知x,y,z是非负实数,且x+y+:=2,则x*y+y2+-x2+x:的最大值为( _ A.1 C. B.2 D. 以上答案都不对 - 8.已知函数/(x)一{ {若<×,<,且/(x)/(x)/(x),则(x) _的取值范围是( _ 2x2+-7 A.(04] B.(0.6-25] C. (03-5] D.(0.3+2v51 _ 二、多选题 9. 欧拉是科学史上一位杰出的数学家,他发明的公式e*=cosx+isinx,(e为自然对数的底数,i为虚数 单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的 天桥”.依据上述公式,下列结论中正确的是( ) A. 复数,为纯虚数 B. 复数e对应的点位于第二象限 D. 复数e{*(9e[0.xl)在复平面内对应的点的轨迹是半圆 10. 已知函数(x)-2in(x+) o.pl=)的部分图象如图所示,则( 。 A. 函数/(x)的最小I囤期为π C. 函数y-f(x)在[-n,0]上单调递增 D. 2-3()成立 {,8(x)-/(x)-m,则( _~ llgx.x>0 A. 若函数y=g(x)有3个零点,则me(0.1) B. 函数y-/[/()有3个零点 C. meR,使得函数y=/[g(x)]有6个零点 D. VmeR,函数y=gf(x)]的零点个数都不为4 三、填空题 _sin10” _效 %×x×1x x.x...x.x...x2 14. 已知正方形ABCD的边长为2,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图),若P在BC上, 且AP-aAB+AD,则2+的最大值为_. C 四、解答题 15.(13分)已知向量ā=(cosx,2sinx),5=(2oosx,3cosx),函数/(x)=a-$. (1)若/()-1 且2{). 求cos2x。的值: (2)将/(x)图象上所有的点向右平移个单位,然后再向下平移1个单位,最后使所有点的纵坐标变为原来 的,得到函数g(4)的图象,求函数g(t)的单增区间,及函数g(1)在[0.-]的值域. 16.(15分)如图,在ABC中,点P满足PC-2BP,O是线段AP的中点,过点O的直线与边AB,AC分 别交于点E,F. 17.(15分)如图,扇形ABC是一块半径r-2(单位:千米),圆心角乙BAC-的风景区,点P在孤BC上 (不与B,C重合).现欲在风景区中规划三条商业街道,要求街道PO与AB垂直于点O,街道PR与AC垂 直于点R,线段RO表示第三条街道.记乙PAB-6. (1)若点P是孤BC的中点,求三条街道的总长度 (2)通过计算说明街道RO的长度是否会随e的变化而变化 (3)由于环境的原因,三条街道PO、PR、RO每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400(单位 万元),求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值 C2 18.(17分)已知函数f(x)=ar*-x-a,其中aeR. (1)判断f(x)的奇偶性(直接写出结论,不必说明理由); (2)当azo时,比较#())(-)与o的大小; (3)若函数y=