4.2.1 等差数列的概念 第2课时 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019)选择性必修第二册

课时2 等差数列的概念 学习目标 1.能利用等差数列解决简单实际问题. 2.能推导并掌握等差数列的性质. 3.能利用等差数列的性质解决实际问题. 学习活动 目标一：能利用等差数列解决简单实际问题. 任务1：根据实际情境，利用等差数列求公差的取值范围. 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 任务2：构造新的等差数列，求新数列通项. 已知等差数列{} 的首项＝2，在{} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}. (1)求数列{} 的通项公式. (2)是不是数列{} 的项？若是，它是{} 的第几项？若不是 ，请说明理由. 思考：问题2除了上述方法，还有没有其他办法？ 归纳总结 1.等差数列的性质1： 2.求构造的新数列的通项： 练一练： 已知一个无穷等差数列的首项为, 公差为d. (1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 目标二：能推导并掌握等差数列的性质. 任务：证明等差数列的性质 情境1.已知数列 是等差数列，,且 求证:. 【新知讲解】 等差数列性质2： 思考1：下图是它的一种情形. 如何从几何角度解释等差数列的这一性质吗? 练一练： 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　) A．20　　　　B．30 C．40 D．50. 情境2.已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn=an+2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 【新知讲解】 等差数列性质3：若{an}, {bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 公差为d的等差数列（c为任一常数） 公差为cd的等差数列（c为任一常数） 公差为2d的等差数列（k为常数，) 公差为pd+qd′的等差数列（p，q为常数） 学习总结 任务：回答下列关问题，构建知识导图. 等差数列有哪些性质？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时2 等差数列的概念 学习目标 1.能利用等差数列解决简单实际问题. 2.能推导并掌握等差数列的性质. 3.能利用等差数列的性质解决实际问题. 学习活动 目标一：能利用等差数列解决简单实际问题. 任务1：根据实际情境，利用等差数列求公差的取值范围. 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 参考答案：解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}． 由已知条件，得＝－d（n≥2）． 所以数列{}是一个公差为－d的等差数列. 因为＝220－d， 所以＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得≥11，＜11. 即：解得19<d≤20.9 所以，d的求值范围为19<d≤20.9 任务2：构造新的等差数列，求新数列通项. 已知等差数列{} 的首项＝2，在{} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}. (1)求数列{} 的通项公式. (2)是不是数列{} 的项？若是，它是{} 的第几项？若不是 ，请说明理由. 参考答案：解：（1）设等差数列的公差为 ∵, , ∴, ∵, ∴ ,, ∴ 所以数列的通项公式是=2 （2）数列的各项依次是数列的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则=4 －3 令4－3=29, 解得： =8 所以，是数列的第8项 思考：问题2除了上述方法，还有没有其他办法？ 参考答案：∵=2，∴，根据题意可知，令8n－6=58,解得n=8.所以是数列的第8项 归纳总结 1.等差数列的性质1： 如果在一个等差数列的每相邻