数列拓展——与向量、曲线、几何、导数、概率等综合 讲义-2024届高三数学二轮复习

数列拓展 ——与其他知识综合 题型一：与平面向量结合 题型二：与圆锥曲线综合 题型三：与几何综合 题型四：与导数综合 题型五：与二项式定理结合 题型六：与三角函数结合 题型七：与概率统计结合 题型一：与平面向量结合 【例1】(多选)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是(     ) A．向量与向量所成角为 B． C． D．若，则数列的前n项和为 【变式训练】 1．(2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模)已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则(    ) A． B． C． D．0 2．已知向量，，，则______. 3．已知向量，，，则___________，___________. 题型二：与圆锥曲线综合 【例2】如图，在平面上有一系列点，，…，…，对每个正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的都与轴相切，且与外切.若，且，，的前项之和为，则(     )    A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知一族曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．则下列结论错误的是(    ) A．数列的通项为 B．数列的通项为 C．当时， D． 2．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，，点列P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是(    ) A．为公差为2的等差数列 B．为公比为2的等比数列 C． D．前n项和 题型三：与几何综合 【例3】(多选)已知三棱锥的棱长均为，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，球的表面积为，体积为，则(    ) A． B． C．数列为等差数列 D．数列为等比数列 【变式训练】 1．(多选)已知正四面体中，，，，…，在线段上，且，过点作平行于直线，的平面，截面面积为，则下列说法正确的是(    ) A． B．为递减数列 C．存在常数，使为等差数列 D．设为数列的前项和，则时， 3．如图，已知曲线及曲线.从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.点的横坐标构成数列 (Ⅰ)试求与之间的关系，并证明：； (Ⅱ)若，求证：. 题型四：与导数综合 【例4.1】(多选)已知数列满足，，则下列说法正确的有(     ) A． B． C．若，则 D． 【变式训练】 1．(多选)正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，下面结论正确的有(    ) A． B．是等差数列 C． D．满足的最小正整数为 2．(多选)已知数列满足，，则(    ) A．为单调递减数列 B． C． D． 【例4.2】数列满足，. (1)求数列前项和； (2)证明：对任意的且时， 【变式训练】 1．已知函数. (1)若，求a的值； (2)证明：. 2．已知函数. (1)求的最大值； (2)求证：. 3．已知函数， (1)试讨论的单调性； (2)求证：. 4．已知函数. (1)若，求a的值； (2)证明：. 5．已知函数. (1)若，证明：在上恒成立； (2)证明：对任意正整数，都有成立(其中为自然对数的底数). 6．已知函数，． (1)若函数在区间内的单调递增，求的取值范围； (2)证明：对任意，． 7．已知函数． (1)证明：对恒成立； (2)是否存在，使得成立？请说明理由． 8．已知数列，，为数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知当时，不等式恒成立，证明：． 题型五：与二项式定理结合 【例5】已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和__________． 【变式训练】 1．已知递增正整数数列满足，则下列结论中正确的有(       ) (1)､､可能成等差数列； (2)､､可能成等比数列； (3)中任意三项不可能成等比数列； (4)当时，恒成立. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．(多选)已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是(       ) A． B．数列单调递增 C． D．若为偶数，则正整数n的最小值为8 3．设数列的前项和为，且，数列满足，其中. (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)当时，求证：. 题型六：与三角函数结合 【例6】数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列； (1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值； (2)若()，且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和； 【变式训练】 1．已知数列中，，，且． (1)设，试用表示，并求的通项公式； (2)设，