数列拓展——新定义、子数列、插入新数列 讲义-2024届高三数学二轮复习

数列拓展 ——新定义、新数列 类型一：数列新定义 【例1】(多选)已知数列，如果存在常数，对于任意给定的正数(无论多小)，总存在正整数，使得时，恒有成立，就称数列收敛于(极限为)，即数列为收敛数列.下列结论正确的是(     ) A．数列是一个收敛数列 B．若数列为收敛数列，则，使得，都有 C．若数列和为收敛数列，而数列不一定为收敛数列 D．若数列和为收敛数列，则数列也一定为收敛数列 【变式训练】 1．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为(    ) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 2．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数(     ) A．10 B．11 C．12 D．13 3．已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是(     ) ①若，则为“回旋数列”； ②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”； ③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则； ④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得． A．1 B．2 C．3 D．4 4．(多选)若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有(     ) A． B． C． D． 5．(多选)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，，设第n次“美好成长”后得到的数列为，并记，则(    ) A． B． C． D．数列的前n项和为 6．(多选)设正整数，其中.记，当时，，则(    ) A． B． C．数列为等差数列 D． 7．对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式 . 8．对于数列，记：…，(其中)，并称数列为数列的k阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k阶等比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则m=___________. 9．定义:对于任意数列,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有,且,则称为数列的“上渐近值”．已知数列有(为常数,且),它的前项和为,并且满足,令,记数列的“上渐近值”为,则的值为 _____． 10．在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足. (1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求； (2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项. 11．设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围; (2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 12．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，定义，且记，求数列的前n项和． 类型二：取整数列 【例2】已知数列满足，记为不小于的最小整数，，则数列的前2023项和为(     ) A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式训练】 1．在数列中，，，且．表示不超过的最大整数，若，数列的前项和为，则(    ) A．2 B．3 C．2022 D．2023 2．已知数列、，，，其中为不大于x的最大整数.若，，，有且仅有4个不同的，使得，则m一共有(    )个不同的取值. A．120 B．126 C．210 D．252 3．符号表示不超