4.1 数列的概念（第一课时）学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时1 数列的概念 学习目标 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念及分类. 2.知道数列是一种特殊函数，了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类. 3.理解数列通项公式的意义，能根据数的规律求数列的通项公式. 学习活动 导入： 观察下列这组数的规律，你能完成填空吗？ 1，1，2，3，5，8，____，_____，…… 目标一：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念及分类. 任务：分析实例，归纳数列的概念. 实例1.王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 75，87，96，103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168. 问题1：记王芳第i岁时的身高为，那么______,______. 参考答案：96,160. 问题2：上述身高数据有什么意义，能否交换位置吗？说明理由. 参考答案：意义，王芳成长的身高数据，不可以，因为成长是不可逆的，一旦交换位置，那么的意义就发生了改变. 实例2.在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，96，112，128， 144，160，176，192，208，224，240. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 问题3：记第i天月亮可见部分的数为，那么的意义是什么？上述的数据能否交换位置？ 参考答案：表明在第1天到第15天内第i天月亮可见部分的数；不能交换位置，因为这些数是按照一定规律排列的，一旦交换位置，就不符合实际. 实例3.的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： ，，，，… 问题4：仿照上面的叙述，这列数可以交换位置吗？ 参考答案：不可以，该列数都是按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……等排列的数，如果交换位置，该列数没有意义. 思考：上述三个实例有什么共同特征？ 【新知讲解】 1.定义：一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项. 3.表示：数列的一般形式是,,…,,…,简记为{}. 问题5：在数列中，符号与所表示的意义是否相同？ 参考答案：不同，仅表示数列中的第n项这一个数值.而表示一个数列，通常要在其前面写上“数列”这两个字，即“数列”. 问题6：对于上述实例中的三类数列，它们的项数有何特点呢？ 参考答案：实例1数列有17项，实例2数列有15项，实例3数列有无数项. 【新知讲解】 数列的分类：据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类： 有穷数列：项数有限的数列； 无穷数列：项数无限的数列. 目标二：知道数列是一种特殊函数，了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类. 任务1：探究数列的函数性. 问题7：观察上图，根据函数的定义，判断数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是否为函数关系？如果是，它们是如何对应的，自变量是多少？如果不是，说明理由. 参考答案：是，对于每一个正整数n，都有唯一的数与之对应，所以数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是函数关系. 【新知讲解】 数列是从正整数（或它的有限子集{1,2,…n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为. 注：数列是自变量为离散的数的函数. 任务2：探究数列表示方法. 实例3.的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：，，，，… 问题8：类比函数，有哪些方法表示该数列？ 参考答案： 1. 表格法： n 1 2 3 4 … n … … … 2. 图像法： 3. 公式法： 【新知讲解】 如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式. 练一练： 1.根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象。 （1）； （2） 参考答案： 解：（1）令n=1，可知，令n=2，，以此类推，可知； （2），，.根据前5项的数据进行描点。 思考1：观察练一练（1）的图象，小组讨论该数列有什么特点及其原因？ 【归纳总结】 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. 常数列：各项相等的数列. 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 2.根据