18.2.1 第1课时 矩形的课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十八章 平行四边形 18.2.1 第1课时 矩形的性质 2. 平行四边形:两组对边分别平行 的四边形叫做平行四边形 . ①边: ②角: ③对角线: ④对称性: 特殊的 四边形 一般的四边形 3. 平行四边形的特殊性质 对边平行且相等. 对角相等且邻角互补. 互相平分. 一、复习回顾 1.一般的四边形的性质: 内角和3600、外角和3600. 平行四边形具有四边形的一切性质. A B C D 平 行 四边形 中心对称. B D A C o 平 行 四边形 长方形 二、新知探索——特殊的平行四边形 1.矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩 形(长方形) 有一角是直角 特殊的平行四边形 B D A C o 【问题】矩形与一般的平行四边形有什么共同之处? 有什么不同之处? 矩形是特殊的平行四边形, 具有平行四边形的一切性质. ⑴ 矩形的四个角都是直角. ⑵ 矩形的对角线相等. ( 特殊性质 ) 2.矩形的性质: ∴OA=OB=OC=OD ⑶直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知: 在矩形ABCD中, 有Rt ABC, ∠ABC=900, O为AC的中点. 求证: BO= AC. 1 2 ∴ OB= BD. 1 2 证明: ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AC=BD, 且OA=OC, OB=OD B A D C B A D C O ∴ OB= AC. 1 2 O (有一个角是直角的平行四边形是矩形) 证明:在 ABCD中AB CD ∥ = 已知: 在 ABCD中, AC=BD. 求证: 四边形ABCD是矩形. ⑵对角线相等的平行四边形是矩形. 3.矩形的判定: ⑴有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义法). 又∵AC=BD, BC=BC ∴ ABC≌ DBC (SSS) ∴∠ABC=∠DCB 由AB//CD得∠ABC+∠DCB= 1800 ∴∠ABC=∠DCB=1/2 1800=900 ∴ ABCD是矩形 已知:四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900. 求证:四边形ABCD为矩形. ⑶有三个角是直角的四边形是矩形. 证明: ∵∠A=∠B=∠C=900 ∴∠A+∠B=1800, ∠B+∠C=1800 ∴AD//BC, AB//DC, ∴ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ABCD是矩形. 判定一个四边形是矩形的方法小结: 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义法 ). 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. B A D C 证明:∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD, 则OA=OB=OC=OD ∵AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形 且OE+OG=OF+OH 即EG=FH, ∴ EFGH是矩形. 例1.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O, 点E, F, G, H 分别是AO, BO, CO, DO上的一点, 且AE=BF=CG=DH. 求证: 四边形EFGH是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形) +对角线相等 矩形 O D B C A 【变式练习】如图, AB、CD是⊙O的两条直径, 四边 形ACBD是矩形吗? 若不是说明理由, 若是请证明. 解:四边形ACBD是矩形. 理由是: ∵AD、BC是⊙O的直径 ∴OA=OB, OC=OD ∴四边形ACBD是平行四边形. 且OA+OC=OB+OD 即AB=CD ∴ ACBD是矩形. 注意:这里必须先证 , 再证矩形. +对角线相等 矩形 例2. 已知: 如图, 在 ABCD中, 四个内角平分线分别相 交于点E、F、G、H. 求证: 四边形EFGH为矩形. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, 则AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=1800 ∵BG, CG分别平分∠ABC和∠BCD ∴∠G =1800-(∠1+∠2)=900 同理∠E=900, ∠AFB=900 , 则∠EFG=900 ∴四边形EFGH为矩形. 2 1 F H G E D C B A 四边形有三个直角 矩形 1.如图, 在矩形ABCD中, AC与BD相交于点O, AB=3cm, BC=4cm, AC=5cm, 则AO= cm, BO= cm. 2.如图,在矩形ABCD中, AO CO BO DO, 则在 直角三角形ABC中, AO CO BO, 即直角三角形 中, 斜边上的中线等于斜边的 . 课堂练习 2.5 2.5 = = = = = 一半 3.矩形具有而平行四边形不具有的性质( ). A.内角和是360度 B.对角相等 C.对边平行且相等 D.对角线相等 4.下面性质中,矩形不一定具有的是( ). A.对角线相等 B.对角线垂直 C.是轴对称图形 D.四个角相等 5.由矩形一个顶点向其所对的对角线作垂线, 该垂线分