课时达标检测(5) 同角三角函数的基本关系式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

课时达标检测(五)　同角三角函数的基本关系式 学生用书P071 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知α是第二象限角,且sin α=,则cos α= (　　) A.- B.- C. D. 解析　因为α是第二象限角,且sin α=,所以cos α=-=-。故选A。 答案　A 2.已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为 (　　) A. B.± C. D.± 解析　由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=。故选A。 答案　A 3.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为 (　　) A.- B.- C. D. 解析　sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)·(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-。 答案　A 4.已知sin α=,且α为第二象限角,则tan α= (　　) A.- B.- C. D. 解析　因为sin α=,α为第二象限角,所以cos α=-,所以tan α=-。 答案　A 5.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,那么这个三角形的形状为 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析　因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,所以sin α·cos α=-<0,所以α∈,π,所以这个三角形是钝角三角形。故选B。 答案　B 6.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为 (　　) A.1+ B.1- C.1± D.-1- 解析　由题意知sin θ+cos θ=-,sin θcos θ=,又因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±。又因为原方程有两根,所以Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-。故选B。 答案　B 二、多项选择题 7.化简的结果是 (　　) A.cos 160° B.|cos 160°| C.±cos 160° D.-cos 160° 解析　因为160°角为第二角限角,所以==|cos 160°|=-cos 160°,选项B,D正确。 答案　BD 8.已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan α= (　　) A.-3 B.- C. D.3 解析　因为sin α+2cos α=,又sin2α+cos2α=1,联立解得或故tan α==-或3。故选BD。 答案　BD 三、填空题 9.化简-的结果为　　　　。  解析　- = ===-2tan2α。 答案　-2tan2α 10.已知cos=,0<α<,则sinα+=　　　　。  解析　因为0<α<,所以<α+<,所以sin==。 答案　 11.若tan α+=3,则sin αcos α=　　　　,tan2α+=　　　　。  解析　因为tan α+=3,所以+=3,即=3,所以sin αcos α=,tan2α+=tan α+2-2tan α×=9-2=7。 答案　　7 四、解答题 12.已知-<x<0,sin x+cos x=,求下列各式的值。 (1)sin x-cos x; (2); (3)。 解　(1)因为sin x+cos x=, 所以(sin x+cos x)2=, 即1+2sin xcos x=, 所以2sin xcos x=-。 因为(sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+cos2x=1-2sin xcos x=1+=, 又-<x<0,所以sin x<0,cos x>0, 所以sin x-cos x<0, 所以sin x-cos x=-。 (2)由已知条件及(1),可知 解得 所以==。 (3)由(2),知tan x=-, 所以 ==-。 13.证明:(1)-=sin α+cos α; (2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α)。 证明　(1)左边=-=-=-=sin α+cos α=右边。 故原式成立。 (2)因为左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α =2+2tan2α+2sin2α-sin2α =2+2tan2α+sin2α, 右边=(1+2tan2α)(1+cos2α) =1+cos2α+2tan2α+2sin2α =2+2tan2α+sin2α, 所以左边=右边,原式成立。 素养提升 14.若非零实数m,n满足tan α-sin α=m,tan α+sin α=n,则cos α等于　　　　。  答案　 15.若α,β是关于x的一元二次方程x2+2(cos θ+1