7.3.4 正切函数的性质与图像-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.3.4　正切函数的性质与图像 　　类比y=sin x与y=cos x的性质与图像的研究过程,我们可以得到y=tan x的性质与图像,这就是本节要学习的内容。 借助图像理解正切函数在上的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域)。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P031 　 知识点一、正切函数的概念和性质 　　1.正切函数的概念 对于任意一个角x,只要x≠+kπ,k∈Z,就有唯一确定的正切值tan x与之对应,因此y=tan x是一个函数,称为正切函数,其图像称为正切曲线。  2.正切函数的性质 函数 y=tan x 定义域 值域 R 周期性 最小正周期为π 奇偶性 奇函数,图像关于原点对称 单调性 在每一个开区间(k∈Z)内都是增函数 零点 kπ(k∈Z) 知识点二、函数y=tan x的图像 微提醒 　　“三点两线法”作正切函数图像 正切曲线的简图可用“三点两线法”作出,这里的三个点分别为(kπ,0),,,其中k∈Z。两线为直线x=kπ+(k∈Z),直线x=kπ-(k∈Z)。 微思考　正切曲线是中心对称图形吗?若是,对称中心是什么?是轴对称图形吗? 提示:y=tan x是中心对称图形,对称中心为,0(k∈Z),不是轴对称图形。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P032 　 类型一 正切函数的定义域、值域问题 　　命题方向1:求函数的定义域 　　【例1】　求下列函数的定义域: (1)y=; (2)y=。 解　 (1)由tan x-≥0,得tan x≥,利用图像(如图所示)可知,所求定义域为kπ+,kπ+(k∈Z)。 (2)要使函数y=有意义, 则有即x≠kπ-,且x≠kπ+(k∈Z)。 所以函数的定义域为xx∈R,且x≠kπ-,且x≠kπ+,k∈Z。 　　求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x自身有意义,即x≠+kπ,k∈Z。而对于构造的三角不等式,常利用三角函数的图像求解。 (2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将ωx+φ视为一个整体。令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,求得x的值 【变式训练】　求函数y=的定义域。 解　根据题意,得 解得(k∈Z), 所以函数的定义域为+kπ,+kπ∪+kπ,+kπ(k∈Z)。 　　命题方向2:求函数的值域 　　【例2】　求下列函数的值域: (1)y=tan; (2)y=-tan2x+2tan x+5,x∈。 解　(1)函数y=tan=-tan。 因为x∈且x≠0, 所以x-∈且x-≠-, 令x-=t,则y=tan t。 由正切函数的性质可知当t∈-,-时,函数y=tan t的值域为[1,+∞)。 当t∈时,函数y的值域为(-∞,-1]。 所以函数y=tan=-tanx-的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞)。 (2)令t=tan x,因为x∈, 所以t=tan x∈[-,), 所以y=-t2+2t+5=-(t-1)2+6,抛物线开口向下,对称轴为t=1,所以t=1时,y取最大值6,t=-时,y取最小值2-2, 所以函数y=-tan2x+2tan x+5,x∈时的值域为[2-2,6]。 　　求正切函数值域的两个注意点 (1)注意定义域:求解与正切函数有关的函数的值域时,要注意函数的定义域,在定义域内求值域。 (2)注意新“元”:对于求由正切函数复合而成的函数的值域时,常利用换元法,但要注意新“元”的范围 【变式训练】　函数y=2tan x+a在x∈上的最大值为4,则实数a为　　　　。  解析　由题意得2tan+a=4,解得a=4-2。 答案　4-2 类型二 正切函数的奇偶性、周期性 　　【例3】　(1)函数y=4tan3x+的最小正周期为　　　。  解析　由于ω=3,故函数的周期为T==。 答案　 (2)判断下列函数的奇偶性: ①f(x)=; ②f(x)=tanx-+tanx+。 解　①由得f(x)的定义域为xx≠kπ+且x≠kπ+,k∈Z,不关于原点对称, 所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数。 ②函数的定义域为xx≠kπ-且x≠kπ+,k∈Z,关于原点对称, 又f(-x)=tan-x-+tan-x+ =-tanx+-tanx- =-f(x), 所以函数f(x)是奇函数。 　　求正切型函数周期的方法 (1)形如y=Atan(ωx+φ)的正切型函数的周期T=。 (2)观察法:看自变量间隔多少,函数值重复出现 【变式训练】　已知函数f(x)=3tan。判断函数f(x)的周期性、奇偶性。 解　f(x)为周期函数,周期T==2π。由x-≠+kπ