7.3.1 第2课时 正弦函数的图像-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

第2课时　正弦函数的图像 　　 如图,将一个漏斗挂在架子上,做一个简易的单摆,在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴。把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,这就是简谐运动的图像。物理中把简谐运动的图像称为“正弦曲线”或“余弦曲线”。 1.了解利用单位圆作正弦函数图像的方法,会用“五点法”画正弦函数的图像。 2.会用正弦函数的图像解简单问题。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P023 　 知识点一、正弦曲线 　　(1)函数y=sin x的图像,称为正弦曲线。 (2)正弦函数y=sin x的对称轴为x=+kπ(k∈Z),对称中心为(kπ,0),k∈Z。 知识点二、利用正弦函数的性质作图 (1)借助科学计算器,通过描点法得到正弦函数的图像。 (2)要想得到y=sin x(x∈R)的图像,只需将y=sin x,x∈[-π,π]的图像沿x轴平移±2π,±4π,…即可。 知识点三、利用五点法作图 函数 y=sin x 图像 续表 函数 y=sin x 图像画法 五点法 关键五点 (0,0),,(π,0),,(2π,0) 知识点四、用信息技术作正弦曲线 　　用计算机软件作出类似正弦函数的图像,只需要输入函数解析式即可。 微提醒 　　五点法画正弦函数图像的优点 五点法的实质是在函数y=sin x的一个周期内,选取图像上的五个关键点:最高点、最低点及与x轴的三个交点。这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形状。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P023 　 类型一 五点法作图 　　【例1】　画出函数y=-sin x,x∈[0,2π]的图像。 解　列表: x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=-sin x 0 -1 0 1 0 　　描点并用光滑的曲线连接起来,如图,得到y=-sin x,x∈[0,2π]的图像。 　　五点法作图的步骤 (1)列表:找出五个特殊点的坐标,列出表格 　　(2)描点:根据表中数据,在平面直角坐标系中描出代表函数图像特点的五点坐标。 (3)连线:将五个点用平滑的曲线连接成图 【变式训练】　用五点法作函数y=2sin x-1的图像时,首先应指出的五点的横坐标可以是 (　　) A.0,,π,,2π B.0,,,,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,, 答案　A 类型二 利用正弦函数图像解不等式 　　【例2】　(1)求函数y=的定义域。 (2)求函数f(x)=lg sin x+的定义域。 解　(1)为使函数有意义,需满足 即 正弦函数图像如图所示, 所以定义域为x2kπ<x≤2kπ+,k∈Z∪x2kπ+≤x<2kπ+π,k∈Z。 (2)由题意,得x满足不等式组 即 作出y=sin x的图像,如图所示。 结合图像可得x∈[-4,-π)∪(0,π)。 　　求三角函数定义域时,常常归结为解三角不等式组,这时可利用三角函数的图像或单位圆中三角函数线直观地求得解集 【变式训练】　利用正弦函数的图像,求满足sin x≥的x的取值集合。 解　作出正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像,如图所示,由图可知在[0,2π]上满足sin x≥的x的集合为x≤x≤,故满足sin x≥的x的取值集合为x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z。 类型三 正弦函数图像的应用 　　【例3】　函数f(x)=2sin x+|sin x|,x∈[0,2π]的图像与直线y=m+1有且仅有两个交点,求m的取值范围。 解　 f(x)=2sin x+|sin x|=作出函数图像如图, 由f(x)图像与直线y=m+1有且仅有两个交点,可得0<m+1<3或-1<m+1<0, 即-1<m<2或-2<m<-1, 所以m的取值范围为{m|-2<m<2且m≠-1}。 　　利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数 (1)作出函数的图像,利用函数的图像与x轴的交点的个数判断; (2)将该函数对应的方程拆分成两个简单函数,利用这两个函数图像交点的个数判断 【变式训练】　方程sin x=的根的个数是 (　　) A.7　　　　B.8 C.9　　　　D.10 解析　在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图像如图所示。 由图可知,两图像的交点个数即方程sin x=的根的个数。故选A。 答案　A 即时训练·巩固当堂所学 学生用书P024 　 1.函数y=sin x+m的图像关于(π,1)对称,则m等于 (　　) A.0　　　　B.1 C.-1　　　D.2 答案　B 2.方程2x=sin