7.3.1 第1课时 正弦函数的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图像 7.3.1　正弦函数的性质与图像 第1课时　正弦函数的性质 　　 盛夏到来,天气异常炎热。随着人民生活水平的提高,外出旅游,消夏避暑成为人们生活的一种常态。当我们来到内蒙古大草原,顿时感到心旷神怡,精神焕发,密密麻麻的风力发电机成为一道靓丽的风景。风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动,这种周而复始的转动就是周期现象。你能用数学语言刻画出函数的周期性吗? 1.了解正弦函数的周期性、奇偶性、单调性。 2.借助正弦线理解正弦函数在[0,2π]上的性质。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P020 　 知识点一、正弦函数的概念 　　对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数。 知识点二、周期函数 1.概念 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期。 2.最小正周期的定义 对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期。 知识点三、正弦函数的性质 函数 y=sin x 性质 定义域 R 值域 [-1,1] 最大值 与最小 值　　 x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1; x=+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 奇偶性 奇函数 周期性 2kπ(k∈Z,k≠0) 单调性 在区间(k∈Z)上递增; 在区间(k∈Z)上递减 零点 kπ(k∈Z) 对称轴 x=+kπ(k∈Z) 对称 中心 (kπ,0)(k∈Z) 微提醒 　　对正弦函数单调性的两点说明 (1)正弦函数在定义域R上不是单调函数,但存在单调区间。 (2)由正弦函数的最小正周期为2π,所以任给一个正弦函数的单调区间,加上2kπ(k∈Z)后,仍是单调区间,且单调性相同。 微思考　由诱导公式可知sin+=sin,那么是否是函数y=sin x的一个周期? 提示:在函数周期性的定义中,对定义域中的每一个x值,都有f(x+T)=f(x)成立。对于个别的x0,虽说满足f(x0+T)=f(x0),但不能说T是函数f(x)的周期。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P021 　 类型一 求定义域 　　【例1】　(1)求函数y=的定义域。 (2)求函数y=的定义域。 解　(1)要使y=有意义,需满足2sin x+1≥0,即sin x≥-, 可知定义域为x2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z。 (2)由题意可知,2sin α+≥0,即sin α≥-。 作出sin α=-的三角函数线,如图所示, 在长度为2π的区间上满足条件的α的取值范围为。 故该函数的定义域为2kπ-,2kπ+(k∈Z)。 　　函数定义域的求法 求三角函数的定义域,一般应根据各式有意义转化为求不等式(组)的解的问题,利用三角函数线进行求解 【变式训练】　函数y=的定义域为 (　　) A.[0,π] B.{第一或第二象限角} C.[2kπ,(2k+1)π](k∈Z) D.(0,π) 解析　要使函数y=有意义,则需sin x≥0,由y=sin x的三角函数线可得定义域为[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)。 答案　C 类型二 正弦函数的周期性、奇偶性 　　【例2】　(1)函数y=sinx的最小正周期为　　　。  解析　令u=x,则y=sin u是周期函数,且周期为2π。所以sinx+2π=sinx,即sin(x+4π)=sinx。所以y=sinx的最小正周期是4π。 答案　4π (2)函数f(x)=cos+2x+x2sin x的奇偶性是　　　　。  解析　f(x)=sin 2x+x2sin x,因为x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2·sin(-x)=-sin 2x-x2sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数。 答案　奇函数 　　(1)定义法求函数的周期:紧扣周期函数的定义。寻求对定义域内的任意x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T,该方法主要适用于抽象函数。 (2)定义法判断函数的奇偶性:即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再依据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)来判断 【变式训练】　已知定义在R上的奇函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数,且当x∈0,时,f(x)=sin x,则f的值为 (　　) A.- B. C.- D. 解析　f=fπ+=f=fπ-=f-=-f=-。故选C。 答案　C 类型三 正弦函数的单调性 　　【例3】　(1)y=-