7.2.4 第1课时 诱导公式(1)-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式(一) 　　辽宁的生命之环利用完美的对称展现自己的和谐之美,而三角函数与(单位)圆是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示,例如,同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。借助单位圆,讨论任意角α的终边分别与π±α,-α有什么对称关系。 借助单位圆中对称性,利用定义推导出诱导公式(π±α,-α的正弦、余弦、正切)。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P016 　 知识点一、诱导公式①~④ 　　1.角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系 诱导公式①。 sin(α+k·2π)=sin α;  cos(α+k·2π)=cos α;  tan(α+k·2π)=tan α。  2.角α与-α的三角函数值之间的关系 诱导公式②。 sin(-α)=-sin α;  cos(-α)=cos α;  tan(-α)=-tan α。  3.角α与π±α的三角函数值之间的关系 (1)诱导公式③。 sin(π-α)=sin α;  cos(π-α)=-cos α;  tan(π-α)=-tan α。  (2)诱导公式④。 sin(π+α)=-sin α;  cos(π+α)=-cos α;  tan(π+α)=tan α。  知识点二、角的旋转对称 　　一般地,角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称。 微提醒 　　由公式①②③④可得:k·2π+α(k∈Z),-α,π-α,π+α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,即“函数名不变,符号看象限”。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P016 　 类型一 利用诱导公式求值 　　【例1】　求下列各值。 (1)cos 210°;(2)sinπ; (3)sin-;(4)cos(-1 920°)。 解　(1)cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-。 (2)sinπ=sin2π+=sinπ =sinπ-=sin=。 (3)sin-=-sin6π+= -sin=-sinπ+=sin=。 (4)cos(-1 920°)=cos 1 920°=cos(5×360°+120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-。 　　对于负角的三角函数求值,可先利用诱导公式②,化为正角的三角函数,若转化之后的正角大于2π,再利用诱导公式①,化为0到2π间的角的同名三角函数 【变式训练】　求下列各值。 (1)sin;(2)tan。 解　(1)sin=-sin=-。 (2)tan=tan =tan=-tan=-。 类型二 给值(式)求值 　　【例2】　已知cos(π-α)=,求cos(π+α)-sin2(α-π)的值。 解　因为cos(π-α)=-cos α=,所以cos α=-。 所以cos(π+α)-sin2(α-π)=-cos α-sin2α=-cos α-(1-cos2α)=-1+=-。 　　解给值(式)求值的基本思路 给值(式)求值,解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性,主要包括函数名称及角两个方面,然后巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解。有时还需对条件式或待求式作适当化简后再作处理 【变式训练】　已知cos(75°+α)=,且α为第三象限角,则sin(α-105°)=　　　　。  解析　sin(α-105°)=sin(α+75°-180°)=-sin(α+75°)。因为cos(75°+α)=,且α为第三象限角,所以α+75°为第四象限角,所以sin(α+75°)=-=-。所以sin(α-105°)=。 答案　 类型三 化简求值 　　【例3】　(1)计算:cos+cos+cos+cos+cos+cos=　　　　。  解析　原式=cos+cos+cos+cosπ-+cosπ-+cosπ-=cos+cos+cos-cos-cos-cos=0。 答案　0 (2)化简:。 解　原式==·=1。 　　三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化:①将角化成2kπ±α,π±α,k∈Z的形式。②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数。 (2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数 【变式训练】　已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,则= (　　) A.3　　　B.-3　　　C.　　　D.- 解析　因为sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,所以sin θ=-2cos θ,所以==。 答案　C 明易错·误区警示 在使用诱导公式时对“把α看作锐角” 理解不透彻而致误