7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 　　因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的,所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系。本节将讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系。 1.理解同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α。 2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P012 　 知识点一、同角三角函数的基本关系式 　　1.平方关系:sin2α+cos2α=1 2.商数关系:tan α= 知识点二、关系式的变形 　　1.sin2α+cos2α=1 ⇒ 2.tan α=⇒ 3.sin2α== 4.1+tan2α= 微提醒 　　(1)关系式成立的条件:平方关系sin2α+cos2α=1对一切α∈R都成立;商数关系tan α=仅在α≠kπ+(k∈Z)时成立,该公式实现了弦切互化。 (2)在应用变形公式sin α=±,cos α=±时,切记“±”号一定不能省略,“±”号是由角α的终边位置决定的。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P013 　 类型一 求三角函数的值 　　命题方向1:利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值 　　【例1】　(1)若sin α=-,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值; (2)若cos α=,求tan α的值; (3)若tan α=-,求sin α的值。 解　(1)因为sin α=-,α是第三象限角,所以cos α=-=-,tan α==-×-=。 (2)因为cos α=>0,所以α是第一或第四象限角。 当α是第一象限角时,sin α===,所以tan α==; 当α是第四象限角时,sin α=-=-=-,所以tan α=-。 (3)因为tan α=-<0,所以α是第二或第四象限角。 由可得sin2α=, 当α是第二象限角时,sin α=; 当α是第四象限角时,sin α=-。 　　在应用平方关系时,一定要看角的终边所在的象限是否给出。如果没有给出的话,要分情况讨论开方结果的正负。应用正切公式时,要看tan α是否有意义,还要看角的范围是否给出,否则求出的角α可能是一个集合 【变式训练】　已知α为第二象限角,且cos α=-,求sin α,tan α的值。 解　因为cos α=-,且α是第二象限角。 所以sin α===, tan α===-。 　　命题方向2:sin θ±cos θ的求值问题 　　【例2】　已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),求tan θ与sin θ-cos θ的值。 解　由sin θ+cos θ=,得(sin θ+cos θ)2=, 所以1+2sin θcos θ=, 所以sin θ·cos θ=-。 (sin θ-cos θ)2=1-2sin θ·cos θ=, 所以|sin θ-cos θ|=。 因为θ∈(0,π),sin θ·cos θ=-<0, 所以sin θ>0,cos θ<0, 所以sin θ-cos θ=, 与sin θ+cos θ=联立, 解得sin θ=,cos θ=-, 所以tan θ==-。 　　因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ,所以由sin θ±cos θ平方得sin θcos θ,而由sin θcos θ也可逆用构造(sin θ±cos θ)2,即1-2sin θcos θ=(sin θ-cos θ)2;1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2。 由上述分析可知:sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ是可以相互转化的 【变式训练】　已知sin α·cos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为　　　　。  解析　因为<α<,所以sin α>cos α,所以cos α-sin α<0,又因为(cos α-sin α)2=1-2cos α·sin α=1-=,所以cos α-sin α=-。 答案　- 类型二 切弦互化求值 　　【例3】　已知锐角α满足tan α=3,求下列各式的值: (1);(2)sin2α+2sin αcos α-3cos2α。 解　(1)=, 把tan α=3代入,得原式==-。 (2)sin2α+2sin αcos α-3cos2α = = =, 把tan α=3代入,得原式==。 　　二次齐次整式化正切时,注意“1”的代换,即将分母看作“1”,再将“1”用“sin2α+cos2α”替换,即可得到分子