课时达标检测(4) 正弦定理与余弦定理的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

课时达标检测(四)　正弦定理与余弦定理的应用 基础达标 　 一、单项选择题 1.相距10 n mile的A,B两个小岛上设有两个观测站,某天发现一艘不明船只C非法进入该区域,若在A望C和B成60°的视角,在B望C和A成75°的视角,则船只C距离最近的观测站 (　　) A.5 n mile B.5 n mile C.5 n mile D.5 n mile 解析　结合题意作图,如图所示,由B>A得BC<AC,故船只C距离观测站B近。 因为在△ABC中,=,所以BC===5(n mile)。故选C。 答案　C 2.已知两座灯塔A,B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 (　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 解析　 如图,因为△ABC为等腰三角形,所以∠CBA=(180°-80°)=50°,60°-50°=10°。故选B。 答案　B 3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 (　　) A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析　 如图所示,易知在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10。故选A。 答案　A 4.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°,另两边之比为8∶5,则这个三角形的面积为 (　　) A.40 B.20 C.40 D.20 解析　设另两边长为8x,5x,则cos 60°=,解得x=2。另两边长分别是16与10,三角形的面积为×16×10×sin 60°=40。 答案　A 5. 如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A⁃C⁃B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶。已知AC=10 km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1 km)(参考数据:≈1.41,≈1.73) (　　) A.3.4 km B.2.3 km C.5 km D.3.2 km 解析　 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D。在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10(km),CD=AC·sin 30°=5(km),AD=AC·cos 30°=5(km)。在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5(km),BC==5(km),AB=AD+BD=(5+5)(km),AC+BC-AB=10+5-(5+5)=5+5-5≈5+5×1.41-5×1.73=3.4(km)。 答案　A 6.要测量河流一侧某建筑物的高度,在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点,在甲、乙两点分别测得该建筑物顶点的仰角为45°,30°,在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则该建筑物的高度是 (　　) A.100 m B.400 m C.200 m D.500 m 解析　 由题意画出示意图,设高AB=h,在Rt△ABC中,由已知得BC=h。在Rt△ABD中,由已知得BD=h。在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC×CD×cos∠BCD,得3h2=h2+5002+h×500,解得h=500(m)(负值舍去)。故选D。 答案　D 二、多项选择题 7. 如图所示,为了测量某一隧道两侧A,B两点间的距离,某同学首先选定了不在直线AB上的一点C(△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c),然后确定测量方案并测出相关数据,进行计算。给出的四种测量方案中,一定能确定A,B间距离的有 (　　) A.测量∠A,∠C,b B.测量∠A,∠B,∠C C.测量a,b,∠C D.测量∠A,∠B,a 解析　A项,由∠A,∠C可算出∠B,再根据正弦定理=可计算出AB的值;B项,已知三角,没有已知边,无论用正弦定理还是余弦定理都算不出AB的值;C项,已知两边及夹角,用余弦定理可计算出AB的值;D项,已知两角,可计算出第三角,再用正弦定理可解得AB的值。 答案　ACD 8.某人向正东方向走x千米后,他向右转150°,然后朝新方向走3千米,结果他离出发点恰好千米,那么x的值为 (　　) A. B.2 C.12 D.3 解析　 如图,设此人从A(或A')出发,则AB=x(或A'B=x),BC=3,∠B=30°,由余弦定理可知A'B=,AB=2。 答案　AB 三、填空题 9.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则