课时达标检测(3) 正、余弦定理综合运用习题课-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

课时达标检测(三)　正、余弦定理综合运用习题课 基础达标 　 一、单项选择题 1.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆半径为 (　　) A. B. C. D. 解析　不妨设c=2,b=3,则cos A=,sin A=。因为a2=b2+c2-2bccos A,所以a2=32+22-2×3×2×=9,所以a=3。因为=2R,所以R===。故选C。 答案　C 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=7,b=8,cos C=,则最大角的余弦值是 (　　) A.- B.- C.- D.- 解析　c2=a2+b2-2abcos C=9,c=3,B为最大角,cos B===-。故选C。 答案　C 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若(sin A+sin B)(a-b)=(sin C-sin B)c,则角A= (　　) A. B. C. D. 解析　由(sin A+sin B)(a-b)=(sin C-sin B)c及正弦定理,得a2-b2=c2-bc,所以cos A==,又0<A<π,所以A=。故选B。 答案　B 4.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C所对的边,且不全相等,其中a为最大边,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则A的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析　由题意得sin2A<sin2B+sin2C,由正弦定理得a2<b2+c2,即b2+c2-a2>0,则cos A=>0,又0<A<π,所以0<A<,又a为最大边,所以A的取值范围为。故选A。 答案　A 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。三边与面积的关系为S△ABC=,则cos C的值为 (　　) A. B. C. D.0 解析　S△ABC=absin C==,所以tan C=,又C∈(0,π),所以C=,所以cos C=。故选C。 答案　C 6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若c=2acos B,S=a2-c2,则角C的大小为 (　　) A. B. C. D. 解析　因为c=2acos B,所以根据正弦定理可得sin C=2sin Acos B,即sin(A+B)=2sin Acos B,所以sin(A-B)=0,所以A=B,所以a=b。因为S=a2-c2,所以absin C=a2+a2-c2=a2+b2-c2,所以sin C=。由余弦定理cos C=,得sin C=cos C,即tan C=1。又C∈(0,π),所以C=。 答案　B 二、多项选择题 7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=2,c=2,cos A=,则b= (　　) A.3 B.4 C.2 D. 解析　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b,解得b=4或b=2。故选BC。 答案　BC 8.已知△ABC的三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使△ABC的形状唯一确定的有 (　　) A.a=1,b=2,c∈Z B.A=150°,asin A+csin C+asin C=bsin B C.cos Asin Bcos C+cos(B+C)cos B sin C=0,C=60° D.a=,b=1,A=60° 解析　对于A,由于|a-b|<c<a+b,所以c有唯一取值2;对于B,由正弦定理有a2+c2+ac=b2,所以cos B=-,B=135°,无解;对于C,已知等式可化为cos Asin(B-C)=0,于是(A,B,C)为(90°,30°,60°)或(60°,60°,60°),不符合题意;对于D,根据正弦定理,得sin B=,又A=60°,于是B=30°,C=90°,符合题意。 答案　AD 三、填空题 9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。B=60°,a=1,S△ABC=,则=　　　　。  解析　S△ABC=acsin B=×1×c×=,所以c=2,所以b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×=3,所以b=,所以===2。 答案　2 10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若lg a-lg c=lg sin A=-lg,并且A为锐角,则A=　　　　,C=　　　　。  解析　因为lg a-lg c=lg sin A=-lg,所以=sin A=,因为A为锐角,所以A=45°。因为sin C=·sin A=sin 45°=1,又0°<C<180°,所以C=90°。 答案　45°　90° 11.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边。若sin A=2cos2,bcos C=3ccos B,则=　　　　。  解析　由s