课时达标检测(2) 余弦定理及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

课时达标检测(二)　余弦定理及应用 基础达标 　 一、单项选择题 1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析　设顶角为C,因为l=5c,所以a=b=2c,由余弦定理,得cos C===。 答案　D 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b等于 (　　) A.3 B.2 C.2 D. 解析　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-2·b·2×,即b2-6b+8=0,解得b=2或b=4。又因为b<c,所以b=2。故选C。 答案　C 3.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析　根据正弦定理,得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),则有cos C==。 答案　A 4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为 (　　) A. B. C. D.3 解析　在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由cos A==,得sin A==,所以边AC上的高h=AB·sin A=。故选B。 答案　B 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。sin2=,则△ABC的形状为(　　) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 解析　因为sin2==,所以cos A==,所以a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形。 答案　B 6.若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则·的值为 (　　) A.19 B.14 C.-18 D.-19 解析　设三角形的三边分别为a,b,c,依题意得,a=5,b=6,c=7。所以·=||||cos(π-B)=-accos B。由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,所以-accos B=(b2-a2-c2)=×(62-52-72)=-19,所以·=-19。故选D。 答案　D 二、多项选择题 7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B为 (　　) A. B. C. D. 解析　因为(a2+c2-b2)tan B=ac,所以·tan B=,即cos Btan B=sin B=。因为0<B<π,所以角B的值为或。故选BD。 答案　BD 8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。下列结论正确的是 (　　) A.asin B=bsin A B.a=bcos C+ccos B C.a2+b2-c2=2abcos C D.b=csin A+asin C 解析　对于A,C,由正弦、余弦定理知一定成立。对于B,由正弦定理及sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B知显然成立。对于D,利用正弦定理,变形得sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C,又sin B=sin(A+C)=cos Csin A+cos Asin C,与上式不一定相等,所以D不正确。故选ABC。 答案　ABC 三、填空题 9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a2+c2-b2=ac,则角B的值为　　　　。  解析　根据余弦定理,得cos B=== ,又B∈(0,π),所以B=。 答案　 10.已知△ABC中,AB=,BC=1,A=30°,则AC=　　　　。  解析　因为AB=c=,BC=a=1,cos A=,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得1=b2+3-3b,解得b=1或b=2,则AC=1或AC=2。 答案　1或2 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。A=60°,b=12,S△ABC=18,则=　　　　,c=　　　　。  解析　在△ABC中,因为S△ABC=18,A=60°,b=12,所以×12×c×sin 60°=18,即c=6,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=144+36-2×12×6×=108,所以a=6,所以==12。 答案　12　6 四、解答题 12. 如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长。 解　在△ABD中,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,设BD=x, 由余弦定理, 得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA, 所以142=102+x2-2×10·xcos 60°, 即x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去), 所以BD=16。 因为AD⊥CD,∠BDA=6