课时达标检测(1) 正弦定理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

课时达标检测(一)　正弦定理 基础达标 　 一、单项选择题 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=3,b=5,sin A=,则sin B= (　　) A. B. C. D.1 解析　由=,得sin B===。故选B。 答案　B 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=4,b=,C=,则S△ABC=(　　) A. B. C.2 D.2 解析　S△ABC=absin C=。故选A。 答案　A 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若3a=2b,则的值为 (　　) A.- B. C.1 D. 解析　因为3a=2b,所以由正弦定理得==。所以=。所以=2×-1=2×-1=-1=。故选D。 答案　D 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=5,c=10,A=30°,则B= (　　) A.105° B.15° C.105°或15° D.45°或135° 解析　由a<c,得A<C,又由sin C==,得C=45°或C=135°,所以B=105°或B=15°。 答案　C 5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为 (　　) A. B. C. D. 解析　由3acos C=4csin A,得=。由正弦定理=,得=,所以tan C=,所以sin C=。又S=bcsin A=10,b=4,所以csin A=5。根据正弦定理,得a===。故选B。 答案　B 6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为 (　　) A. B.π C.2π D.4π 解析　在△ABC中,A=75°,B=45°,所以C=180°-A-B=60°。设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理,可得2R==,解得R=1,所以△ABC的外接圆的面积S=πR2=π。故选B。 答案　B 二、多项选择题 7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=1,b=,A=30°,则B等于 (　　) A.60° B.120° C.30° D.150° 解析　由正弦定理=,得sin B==,因为b>a,所以B>A,所以B=60°或120°。故选AB。 答案　AB 8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知两边和其中一边的对角,则△ABC无解的是 (　　) A.a=7,b=8,A=105° B.b=40,c=20,C=60° C.b=10,c=5,C=60° D.a=2,b=6,A=30° 解析　A中,由a<b,A=105°,可得B>105°,与三角形的内角和为180°矛盾,故三角形无解;B中,由正弦定理=,得sin B===>1,所以B不存在,故三角形无解;C中,由正弦定理=,得sin B===,又b<c,所以B=45°,所以A=180°-(B+C)=75°,故三角形有唯一解;D中,由正弦定理=,得sin B===,所以B=60°或B=120°,故三角形有两解。故选AB。 答案　AB 三、填空题 9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为　　　。  解析　因为A=60°,C=45°,所以B=75°,所以最小边为c,由正弦定理,得=,又sin 75°=,所以c===2-2。 答案　2-2 10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若a=,b=2,A+C=3B,则角A的大小为　　　　。  解析　因为A+C=3B且A+C+B=180°,所以B=45°,由正弦定理=,得sin A==。又因为a<b,所以A<B,所以A=30°。 答案　30° 11.锐角三角形的内角分别是A,B,C,且A>B。下面三个不等式成立的是　　　　。(填序号)  ①sin A>sin B,②cos A<cos B,③sin A+sin B>cos A+cos B。 解析　A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,故①成立。函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数,因为A>B,所以cos A<cos B,故②成立。在锐角三角形中,因为A+B>,所以A>-B。则有sin A>sin-B,即sin A>cos B,同理sin B>cos A,故③成立。 答案　①②③ 12.在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若cos A=,cos C=,a=1,则sin B=　 　　,b=　　　。  解析　因为A,B,C均为三角形内角,所以sin A==,sin C==,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=。由正弦定理得,b