第9章 解三角形 测评卷-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

第九章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.△ABC的三内角A,B,C的对边长分别为a,b,c。若a=b,A=2B,则cos B等于 (　　) A. B. C. D. 解析　由正弦定理,得=,所以a=b可转化为=。又A=2B,所以=,所以cos B=。 答案　B 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知a=1,b=,A=30°,B为锐角,那么A∶B∶C= (　　) A.1∶1∶3 B.1∶2∶3 C.1∶3∶2 D.1∶4∶1 解析　因为a=1,b=,A=30°,B为锐角,所以由正弦定理,得sin B===,所以B=60°,所以C=180°-A-B=90°,所以A∶B∶C=30°∶60°∶90°=1∶2∶3。故选B。 答案　B 3.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于 (　　) A.- B.- C. D. 解析　由余弦定理,得cos A===,所以·=||||cos A=3×2×=。所以·=-·=-。 答案　A 4.在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B= (　　) A. B. C. D. 解析　因为在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,根据余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=42+32-2×4×3×=9,即AB=3,所以cos B===。故选A。 答案　A 5.线段的黄金分割点定义:若点C在线段AB上,且满足AC2=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分割点。在△ABC中,AB=AC,A=36°。若角B的平分线交边AC于点D,则点D为边AC的黄金分割点。利用上述结论,则cos 36°= (　　) A. B. C. D. 解析　不妨设AB=2,利用黄金分割点的定义得AD=-1。由A=36°,AB=AC,∠ABD=∠CBD,得∠ABD=36°,则BD=AD=-1。在△ABD中,cos 36°==。故选B。 答案　B 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若△ABC的面积为,则C= (　　) A. B. C. D. 解析　因为S=absin C===abcos C,所以sin C=cos C,即tan C=1。因为C∈(0,π),所以C=。故选C。 答案　C 7.在△ABC中,已知cos Acos B>sin Asin B,则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析　由cos Acos B>sin Asin B,得cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)>0,又0°<A+B<180°,所以A+B<90°,所以C=180°-(A+B)>90°,C为钝角。故△ABC为钝角三角形。 答案　C 8.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于 (　　) A. B. C. D. 解析　设BC=a,则BM=MC=。在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,即72=a2+42-2××4·cos∠AMB　①。在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC,即62=42+a2+2×4×·cos∠AMB　②。①+②得72+62=42+42+a2,所以a=。 答案　B 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.已知△ABC的三条边的边长分别为4 m,5 m, 6 m,将三边都截掉x m后,剩余的部分组成一个钝角三角形,则x的取值范围可以是 (　　) A.0<x<5 B.1<x<5 C.1<x<3 D.2<x<3 解析　根据题意知截取后三角形的边长为(4-x)m,(5-x)m,(6-x)m,设长为(6-x)m的边所对的角为α,则α为钝角,cos α=<0,整理得(x-1)(x-5)<0,解得1<x<5,因为4-x>0,5-x>0,6-x>0,且4-x+5-x>6-x,所以x<3,则x的取值范围是1<x<3。故选CD。 答案　CD 10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是 (　　) A.a=8,b=16,A=30°,有一解 B.b=18,c=20,B=60°,有两解 C.a=5,c=2,A=90°,无解 D.a=30,b=25,A=150°,有一解 解析　A中,因为=,所以sin B==1,所以B=90°,即只有一解;B中,因为sin C==,且c>b,所以C>B,故有两解;C中,因为A=90°,a=5,c=2,所以b==