7.2.1 三角函数的定义-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 　　如图所示,以单位圆的圆心O为原点,建立平面直角坐标系,设点P(xP,yP),你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗?能否也定义其他函数(余弦、正切)?改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗? 1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。 2.能利用定义解决相关问题。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P008 　 知识点一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 如图,对于任意角α,设P(x,y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点,则它与原点的距离是r(r=>0),那么 (1)称为角α的正弦,记作sin α,即sin α=;  (2)称为角α的余弦,记作cos α,即cos α=;  (3)称为角α的正切,记作tan α,即tan α=(x≠0)。  知识点二、正弦、余弦与正切在各象限的符号 　　口诀:(1)“一全正,二正弦,三正切,四余弦”。 　　(2)“上正弦,右余弦,正切在一三”。 微提醒 　　(1)对任意角的三角函数的定义的理解:sin α,cos α是一个比值,跟点P(x,y)在α终边上的位置无关,只与角α终边的位置有关。 (2)口诀仅适用于判断终边在四个象限中的角的三角函数值的符号。对于象限界角(即终边落在坐标轴上的角)的三角函数值的符号,可根据三角函数的定义进行判断。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P008 　 类型一 任意角的三角函数的定义 　　【例1】　(1)已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ,tan θ。 (2)已知角θ终边上有一点P(-,m),且sin θ=m(m≠0),试求cos θ与tan θ的值。 解　(1)由题意知r=|OP|=, 由三角函数定义,得cos θ==。 又因为cos θ=x, 所以=x。 因为x≠0,所以x=±1。 当x=1时,P(1,3), 此时sin θ==,tan θ==3。 当x=-1时,P(-1,3), 此时sin θ==,tan θ==-3。 (2)点P(-,m)到坐标原点O的距离r=,由三角函数的定义,得sin θ===m,解得m=±。所以r=2。当m=时,cos θ===-,tan θ===-。当m=-时,cos θ===-,tan θ===。 　　任意角的三角函数值的求解方法 (1)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0),P到原点的距离为r,r=,则sin α=,cos α=,tan α=。 (2)若角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论 【变式训练】　(多选)若角α的终边在直线y=-2x上,则sin α等于 (　　) A.- B. C. D.- 解析　在α的终边上任取一点(-1,2),则r==,所以sin α===。或者取P(1,-2),则r==,所以sin α==-=-。 答案　AC 类型二 三角函数符号的判断 　　命题方向1:三角函数值符号的确定 　　【例2】　判断下列各式的值的符号: (1)sin α·cos α(其中α是第二象限角); (2)sin 285°·cos(-105°); (3)sin 3·cos 4·tan。 解　(1)因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α·cos α<0。 (2)因为285°是第四象限角,所以sin 285°<0,因为-105°是第三象限角,所以cos(-105°)<0,所以sin 285°·cos(-105°)>0。 (3)因为<3<π,π<4<,所以sin 3>0,cos 4<0,因为-=-6π+,所以tan=tan>0。所以sin 3·cos 4·tan<0。 　　判断三角函数值的和、差、积、商的符号,首先应准确确定相关角的终边所在的象限,其次需确定各三角函数值的符号,最后利用四则运算法则求解 【变式训练】　判断下列各式的符号: (1)sin 105°·cos 230°;(2)sin 3·cos 4·tan 5。 解　(1)因为105°,230°分别为第二、第三象限角,所以sin 105°>0,cos 230°<0,所以sin 105°·cos 230°<0。 (2)因为<3<π,π<4<,<5<2π,所以sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0。所以sin 3·cos 4·tan 5>0。 　　命题方向2:三角函数值符号的应用 　　【例3】　若sin α·cos α>0,且<0,则角α是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析　因为sin α·cos α>0,所以sin α,cos α同号,所以角α是第一