7.1.1 角的推广-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

第七章 三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 　　现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角。例如,体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称,这里不仅有超出0°~360°范围的角,而且旋转的方向也不相同。 因此,要准确地描述这些现象,不仅要知道旋转的度数,还要知道旋转的方向,这就需要对角的概念进行推广。 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角。 2.理解并掌握终边相同的角的概念,并能写出终边相同的角所组成的集合。 3.了解象限角的概念。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P002 　 知识点一、角的概念的推广 　　1.角的定义 (1)初中所学定义:有公共端点的两条射线组成的图形称为角。 (2)第二种定义:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角。 2.角的相关名称 3.转角 知识点二、象限角 　　在平面直角坐标系中,按角终边的位置分类。(前提是在平面直角坐标系中:1.角的顶点与坐标原点重合;2.角的始边落在x轴的正半轴上) 分类 知识点三、终边相同的角 　　设α表示任意角,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}。 微提醒 　　如果角的顶点不与坐标原点重合,或者角的始边没有落在x轴的正半轴上,则不能判断这个角是第几象限角。 微思考　终边相同的角相等吗?相等的角终边相同吗? 提示:当角的始边相同时,若角相等,则终边相同,但若角终边相同,则不一定相等。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P002 　 类型一 角的概念的推广 　　【例1】　(1)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.终边在y轴正半轴上的角是直角 B.始边相同而终边不同的角一定不相等 C.{α|α=k·180°,k∈Z}={0°,180°,360°} D.三角形的内角是第一、二象限角或直角 解析　A错误,-270°是终边在y轴正半轴上的角但不是直角。B正确,相等的角始边相同则终边必相同,所以始边相同而终边不同的角一定不相等。C错误,{0°,180°,360°}⫋{α|α=k·180°,k∈Z}。D正确,三角形的内角可以是直角,也可以是第一象限角,或第二象限角。故选BD。 答案　BD (2)将钟表拨快10分钟,则分针所转过的度数为　　　　。  解析　将钟表拨快10分钟,分针顺时针方向旋转60°,所以分针所转过的度数为-60°。 答案　-60° 　　判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念。 (2)技巧:判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可 【变式训练】　如图所示,射线OA绕端点O旋转到OB,OB1,OB2位置所成的角α=　　　　,β=　　　　,γ=　　　　。  ①　　　　　　　　　　　② 解析　由图①可知,OA旋转到OB所成的角是一个正角,α=360°+30°=390°。图②中,OA旋转到OB1,OB2所成的角分别是一个负角和一个正角,β=-(360°-210°)=-150°,γ=210°-150°=60°。 答案　390°　-150°　60° 类型二 终边相同的角 　　【例2】　将下列各角表示为k·360°+α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式,并指出是第几象限角。 (1)420°;(2)-510°;(3)1 020°。 解　(1)420°=360°+60°, 而60°角是第一象限角,故420°是第一象限角。 (2)-510°=-2×360°+210°, 而210°是第三象限角,故-510°是第三象限角。 (3)1 020°=2×360°+300°, 而300°是第四象限角,故1 020°是第四象限角。 　　求符合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值(或对k赋值),从而求出满足条件的角 【变式训练】　已知α=-2 013°。 (1)把α写成β+k·360°,k∈Z,0°≤β<360°的形式,并指出它是第几象限角; (2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°。 解　(1)设α=β+k·360°,k∈Z,则β=-2 013°-k·360°,k∈Z。令0°≤β<360°,解得-6<k≤-5,所以k=-6,所以β=147°。于是α=147°+(-6)×360°,它是第二象限角。 (2)令θ=147°+k·360°,k∈Z。令k=-1,-2,就得到符合-720°≤θ<0°的角;147°-1×360°=-213°,147°-2×360°=-573°。故θ=-213°或-573°。 类型三 象限角与