9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

9.3　数学探究活动:得到不可达两点之间的距离 知识点、数学探究活动要求 　　请与其他同学分工合作,确定合适的两点,利用身边的工具或制作简易工具,测量有关数据,然后利用正弦定理与余弦定理来得出选定两点之间的距离,并讨论如何减少误差等。条件允许的话,最后可借助其他手段获得给定两点的真实距离,然后进行比较。 要求活动以课题的形式完成,经历完整的选题、开题、做题、结题过程。选题是指根据活动要求选定合适对象的过程,开题是指讨论与确定活动步骤的过程,做题是指按照讨论的步骤进行实际活动并记录数据的过程,结题是指整理活动数据、总结与交流的过程。 微提醒 　　在生活中用于测量距离的工具有直尺、钢卷尺、超声波、激光测距仪等,用于测量角度的工具有量角器、分度头、角度测量仪等。 活动方案一 测量高度问题 　　【例1】　 如图,AB是底部B点不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,如何测量才能求出AB的高度? 解　 测量方案一:取两个观测点C,D与底部B在同一直线上,测出两点C与D的距离CD=m,测出由C点观察A的仰角α,由D点观察A的仰角β,若测角仪器的高为h,则问题可化为如图,∠AEF=90°,FG=m,用α,β,m求出AE再加上h。△AFG中,由正弦定理=,所以AF=。在Rt△AEF中,AE=AF·sin α,所以AB=AE+h。 测量方案二:在底部B点所在地面上任选两个观测点C与D,测出CD的长度,记为CD=m,测出∠BCD=α,∠BDC=β,∠ACB=γ。在△BCD中,由正弦定理得=,求出BC的长。 在Rt△ABC中,AB=BC·tan γ。 　　【例2】　 如图,山坡上有一根旗杆AB,且AB之间不可到达,如何测量出AB的高度? 解　测量方案:测量出∠BCA,∠CAB,AC的长度利用三角形内角和为π可得∠CBA,结合正弦定理=可求得AB。 活动方案二 测量距离问题 　　【例3】　 如图,山高为h,山顶上一点A,山脚下B,C两点不可达,图中各点都在同一垂直平面内,若俯角可测,则如何测出点B,C的距离。 解　 测量方案:设在A处测B的俯角为α,C的俯角为β,在Rt△ADC中,∠ACD=β,AD=h, 所以DC=, 在Rt△ADB中∠ABD=α,AD=h, 所以DB=, 所以BC=DC-DB=-。 　　【例4】　如图,A,B两点在一条河的两岸,测量者在点A的同侧,且B点不可达,如何求出点A,B的距离? 解　测量方案:在点A的同侧选取点C,则A,B,C三点之间可视。测出AC之间的距离,记为AC=b,测出∠BAC和∠BCA;利用三角形内角和定理求出∠ABC,再利用正弦定理=,得出AB=。 学科网（北京）股份有限公司 $$