9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 　　济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字,其造型流畅别致,成了济南的标志和象征。小明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为60°,他又朝着泉标底部C前进15.2 m,到达B点,又测得泉标顶端的仰角为80°。经计算泉标的高约为38 m。那你知道泉标的高是怎样算出来的吗? 能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题。 知识点一、实际问题中的常用角 　　1.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角。目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示。 2.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图所示)。 3.方位角的其他表示——方向角 (1)正南方向:指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在正南的方向线上。依此可类推正北方向、正东方向和正西方向。 (2)东南方向:指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示)。 知识点二、解三角形应用题 　　解三角形应用题时,通常都要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解三角形,得到实际问题的解,求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题。 1.解题思路 2.基本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下: (1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形); (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解; (4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解。 知识点三、解三角形中的相关结论与公式 　　1.斜三角形中各元素间的关系 在△ABC中,若角A,B,C为其内角,a,b,c分别表示角A,B,C的对边,则有: (1)角与角之间的关系:A+B+C=π;sin A<sin B⇔A<B,特别地,在锐角三角形中,sin A>cos B,sin B>cos C,sin C>cos A。 (2)边与边之间的关系:a+b>c,b+c>a,c+a>b,a-b<c,b-c<a,c-a<b。 (3)边角之间的关系。 正弦定理:===2R(R为△ABC外接圆的半径)。 余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C。  它们的变形形式有:a=2Rsin A,=,cos A=。  2.三角形中的角的变换及面积公式 (1)角的变换。 因为在△ABC中,∠A+∠B+∠C=π,所以sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C。sin=cos,cos=sin。  (2)面积公式的有关变换。 S=absin C=acsin B=bcsin A=(R为△ABC外接圆的半径);  S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆的半径)。 微提醒 　　(1)在画出解题示意图后要注意构造一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等,这样可以优化解题过程。 (2)解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出的数据。 (3)如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形应用题的实质就是把已知量按方程的思想进行处理,解题时应根据已知量与未知量,选择一个比较容易解的方程,从而使解题过程简化。 微思考 　　仰角、俯角、方位角有什么区别? 提示:三者的参照不同,仰角与俯角是相对于水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。 类型一 测量距离问题 　　【例1】　 某基地进行实兵对抗演习,红方为了准确分析战场形势,从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队间的距离。 解　解法一:∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°, 所以∠DAC=60°, 所以AD=CD=a(km), 在△BCD中,∠DBC=180°-30°-105°=45°。 由正弦定理=, 得BD=CD·=a·=a(km)。 在△ADB中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=a2, 所以AB=a(km)。 即蓝方这两支精锐部队间的距离为a km。 解法二:在△BCD中,∠CBD=180°-30°-105°=45°,由正弦定理得,=, 则BC=CD·=a (km), 在△ACD中,∠CAD=180°-60°-60°=60°, 所以△ACD为等边三角形, 因为∠ADB=∠BDC,所以BD为正△ACD的中垂线, 所以