9.1.2 第2课时 正、余弦定理综合运用习题课-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

第2课时　正、余弦定理综合运用习题课 类型一 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 　　【例1】　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3。 (1)求△ABC的面积; (2)若b+c=6,求a的值。 解　(1)因为cos=,且A∈(0,π), 所以cos A=2cos2-1=,sin A=。 又由·=3,得bccos A=3, 所以bc=5。 因此S△ABC=bcsin A=2。 (2)由(1)知,bc=5,又b+c=6, 所以b=5,c=1或b=1,c=5。 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=20, 所以a=2。 　　求三角形的面积一定要结合已知条件,选择合适的公式,一般常用的是已知两边及其夹角求面积,但如果是直角三角形要特殊对待 【变式训练】　(1)在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为 (　　) A.9 B.18 C.9 D.18 解析　由正弦定理得=,所以AC===6。又因为C=180°-120°-30°=30°,所以S△ABC=AC·BC·sin C=×6×6×=9。故选C。 答案　C (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,b=16,此三角形的面积S=220,则a的值为 (　　) A.7 B.25 C.55 D.49 解析　由S=220,得bcsin A=220,即×16×c×=220,所以c=55。由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos 60°=162+552-2×16×55×=2 401,所以a=49。故选D。 答案　D 类型二 利用正、余弦定理实现边角互化 　　【例2】　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,请用两种方法判断△ABC的形状。 解　解法一:(利用边的关系判断)由正弦定理,得=。 因为2cos Asin B=sin C, 所以cos A==。 因为cos A=, 所以=,所以a=b。 因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab。 又因为a=b,所以4b2-c2=3b2, 所以b=c,所以b=c=a, 所以△ABC为等边三角形。 解法二:(利用角的关系判断)因为A+B+C=180°,所以sin C=sin(A+B)。 因为2cos Asin B=sin C, 所以2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B-cos Asin B=0, 所以sin(A-B)=0。 因为0°<A<180°,0°<B<180°, 所以-180°<A-B<180°, 所以A-B=0,即A=B。 因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab, 所以a2+b2-c2=ab, 所以cos C==。 因为0°<C<180°,所以C=60°, 所以△ABC为等边三角形。 　　判断三角形形状的思路 (1)在判断三角形的形状时,一般考虑从两个方向进行:一个方向是边,走的是代数变形途径,通常综合运用正、余弦定理;另一个方向是角,走的是三角变换途径。 (2)由于高考重点考查三角变换,故解决此类问题时,可先考虑把边转化成角,若用此法不利于解题,再考虑把角转化成边,但计算量常常较大 【变式训练】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若ccos B=bcos C,cos A=,求sin B的值。 解　由ccos B=bcos C,结合正弦定理, 得sin Ccos B=sin Bcos C, 故sin(B-C)=0, 因为0<B<π,0<C<π, 所以-π<B-C<π, 所以B-C=0,B=C,故b=c。 因为cos A=,所以由余弦定理,得3a2=2b2, 再由余弦定理,得cos B=,故sin B=。 类型三 解决几何图形计算问题 　　【例3】　如图,AD是△ABC内∠BAC的平分线。 (1)用正弦定理证明:=; (2)若∠BAC=120°,AB=2,AC=1,求AD的长。 解　(1)证明:因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD。 根据正弦定理,在△ABD中,=。 在△ADC中,=。 因为sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC, 所以===, 所以=。 (2)根据余弦定理,得 cos∠BAC=, 即cos 120°=,解得BC=。 又=,所以=, 解得CD=,BD=。 设AD=x,则在△ABD与△ADC中, 根据余弦定理, 得cos 60°=。 且cos 60°=, 解得x=,即AD的长为。 　　在应用正、余弦定理解与几何图形有关的题时,