9.1.2 第1课时 余弦定理及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

9.1.2　余弦定理 　　如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道的长度。工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,其中AB= km,AC=1 km,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC=150°。你能通过本节所学计算出山脚BC的长度吗? 1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理。 2.能用余弦定理解决简单的实际问题。 第1课时　余弦定理及应用 知识点一、余弦定理及推论 余弦定理 公式表达 a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C 语言叙述 三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 推论 cos A=, cos B=, cos C= 知识点二、余弦定理的应用 　　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。 1.利用余弦定理判断三角形的形状 由余弦定理知,当边c为最大边时, 如果c2=a2+b2,那么△ABC为直角三角形; 如果c2<a2+b2,那么△ABC为锐角三角形; 如果c2>a2+b2,那么△ABC为钝角三角形。 2.利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (3)已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时,也可用余弦定理,如已知a,b,A,可先用余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,求出c,此时c的个数即为三角形解的个数。  微思考 　　余弦定理对等边三角形还成立吗? 提示:当a=b=c时,C=60°,a2+b2-2abcos C=c2+c2-2c2cos 60°=c2,即余弦定理对等边三角形成立。 类型一 用余弦定理证明 　　【例1】　在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,求证:=。 证明　左边==,右边==,所以等式成立。 　　所谓证明,就是在新旧知识间架起一座桥梁。桥梁架在哪儿,要勘探地形,证明一个公式,要观察公式两边的结构特征,联系已经学过的知识,看有没有相似的地方 【变式训练】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。求证:a2+b2+c2=2(bccos A+accos B+abcos C)。 证明　在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A　①,b2=a2+c2-2accos B　②,c2=a2+b2-2abcos C　③,①②③式两边相加整理得a2+b2+c2=2(bccos A+accos B+abcos C)。 类型二 用余弦定理解三角形 　　【例2】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。 (1)a=2,b=6,C=30°,求c; (2)a=3,b=4,c=,求最大角; (3)a∶b∶c=1∶∶2,求∠A,∠B,∠C。 解　(1)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C =(2)2+62-2×2×6×cos 30°=12, 所以c=2。 (2)显然∠C最大。 因为cos C===-, 所以∠C=120°。 (3)由于a∶b∶c=1∶∶2, 可设a=x,b=x,c=2x。 由余弦定理,得 cos A===, 所以∠A=30°。 同理cos B=,cos C=0, 所以∠B=60°,∠C=90°。 　　余弦定理主要解决两类三角形问题:一类是已知三角形的三条边,求任意角;二是已知两边及其夹角,求第三边。有时在使用公式时也要结合三角形内角和为180°和正弦定理综合考虑 　　【变式训练】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=2,b=2,C=15°,求角A,B和边c的值。 解　由余弦定理知c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2×2×2×=8-4, 所以c===-。 由正弦定理得 sin A====, 因为b>a,所以B>A,所以A=30°,所以B=180°-A-C=135°, 所以c=-,A=30°,B=135°。 类型三 判断三角形形状 　　【例3】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知cos2=,判断△ABC的形状。 解　解法一:在△ABC中,由cos2=, 得=,所以cos A=。 根据余弦定理,得=。 所以b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2。 所以△ABC是直角三角形。 解法二:在△ABC中,设其外接圆半径为R,由正弦定理,得b=2Rsin B,c=2Rsin C。 由cos2=知,cos A=。 所以cos A=,即sin B=sin Ccos A。 因为B=π-(A+C), 所以sin(A+C)=sin Ccos A,所以sin Acos C=0