9.1.1 正弦定理-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

第九章 解三角形 9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 　　 在一般的△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。==成立吗?课本是如何证明的?你还有其他方法吗? 探索三角形边长与角度的关系,掌握正弦定理,能用正弦定理解决简单的解三角形问题。 知识点一、正弦定理 　　1.文字语言 在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等。 2.符号语言 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则==。 3.图形语言 知识点二、正弦定理的常见变形 　　令===2R,则 (1)a=2R·sin A,b=2R·sin B,c=2R·sin C。 (2)sin A=,sin B=,sin C=。 (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦之比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C。 (4)===。 (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B。 (6)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A。 知识点三、解三角形 　　习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素,已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。 微提醒 　　正弦定理的特点 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立。 (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式。 (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化。 微思考 　　利用正弦定理可以解决两类解三角形问题: (1)已知两角和任一边,求　　　　。  (2)已知两边和其中一边的对角,求　　　　,进而求出其他的边和角。  提示:(1)其他的边和角　(2)另一边的对角 类型一 正弦定理的理解 　　【例1】　在钝角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。证明正弦定理。 证明　 如图,过C作CD⊥AB,垂足为D,D是BA延长线上一点, 根据正弦函数的定义知, =sin∠CAD=sin(180°-A)=sin A,=sin B。 所以CD=bsin A=asin B。 所以=。 同理,=。 故==。 　　(1)用正弦函数定义探究边与角的内在联系,充分挖掘这些联系可以使理解更深刻,记忆更牢固。 (2)要证=,只需证asin B=bsin A,而asin B,bsin A都对应CD。初看是神来之笔,仔细体会还是有迹可循的,通过体会思维的轨迹,可以提高分析解题的能力 【变式训练】　△ABC的外接圆圆O的半径为R,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:===2R。 证明　①若A为直角(如图①所示), 在Rt△BAC中,可直接得a=2Rsin A; ① ② ③ ②在锐角△ABC中(如图②所示),连接BO并延长,交外接圆于点A',连接A'C,则圆周角A'=A。 因为A'B为直径,长度为2R, 所以∠A'CB=90°, 所以sin A'== , 所以sin A=,a=2Rsin A; ③若A为钝角(如图③所示),作直径BA',连接A'C, 则A'=π-A,在Rt△BCA'中, BC=A'Bsin A'=2Rsin(π-A)=2Rsin A, 即a=2Rsin A。 由①②③得a=2Rsin A,即2R=, 同理可证,2R=,2R=。 所以===2R。 类型二 正弦定理的应用 　　【例2】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知c=,A=45°,a=2,解三角形。 解　因为=, 所以sin C===, 因为c>a,0°<C<180°, 所以C=60°或C=120°。 当C=60°时,B=75°, b===+1; 当C=120°时,B=15°, b===-1。 所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°。 　　当已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角,当已知的角为大边所对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边所对的角时,则不能判断,此时就有两组解,再分别求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定理求出第三条边 【变式训练】　(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知C=60°,b=,c=3,求A。 解　由正弦定理=,得sin B===。 因为b<c,所以B<C,所以B=45°, 故A=180°-B-C=75°。 (2)在△ABC中,A=45°,a=2,b=,解三角形。 解　由正弦定理知==, 所以=,sin B=, 因为a>b,所以A>B, 所以B为锐角,B=30°, 所以C=180°-A-B=180°-45°-30°=105°, c===+1。 类型三 判断三角