19.3正方形第3课时正方形性质与判定的综合应用 练习课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级下册

第19章　矩形、菱形与正方形 19.3正方形 第3课时　正方形性质与判定的综合应用 华师吉林 八年级下 应用1　利用正方形的性质解决线段问题 1.如图，已知P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC.求： 1 2 3 4 5 6 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠BCA＝45°. ∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC＝×（180°－45°）＝67.5°. ∴∠ACP＝67.5°－45°＝22.5°. （1）∠ACP的度数； （2）DP的长. 解：（2）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝1， ∴BD＝＝. ∵BP＝BC＝1，∴DP＝BD－BP＝－1. 1 2 3 4 5 6 1.如图，已知P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC.求： 2.[长春期末]如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2. 1 2 3 4 5 6 （1）如图①，当DG＝2时，求证： 菱形EFGH是正方形； 证明：根据题意得DG＝AH. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°， ∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝EH. 在Rt△HDG和Rt△EAH中， 1 2 3 4 5 6 ∴Rt△HDG≌Rt△EAH， ∴∠DHG＝∠AEH， ∵∠AEH＋∠AHE＝90°， ∴∠DHG＋∠AHE＝90°， ∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH是正方形. 2.[长春期末]如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2. 1 2 3 4 5 6 （2）如图②，连结CF，当△FCG 的面积等于1时，求线段DG 的长度. 解：如图②，过点F作FM⊥CD， 交DC的延长线于点M，连结GE， 则∠M＝90°. ∴∠AEG＝∠MGE， 1 2 3 4 5 6 ∵四边形EFGH是菱形，∴GF∥HE，GF＝HE， ∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF. 在△EHA和△GFM中， ∴△EHA≌△GFM，∴MF＝ AH＝2. 设DG＝x，∴CG＝6－x， ∴S△FCG＝CG·FM＝6－x＝1， ∴x＝5，即DG＝5. 应用2　利用正方形的判定判断四边形的形状 3.[长春九台区期末]如图，在正方形ABCD和▱ECGF中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段AF的中点，连结DP，连结EP并延长，交AD于点Q. 1 2 3 4 5 6 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠GCE＝90°， 又∵四边形ECGF是平行四边形，∴四边形ECGF是矩形. （1）求证：四边形ECGF是矩形； （2）当∠DPE＝90°时，求证：四边形ECGF是正方形. 证明：（2）∵四边形ABCD是正方形， 四边形ECGF是平行四边形，∴AD∥BG，EF∥BG，∴AD∥EF， ∴∠QAP＝∠EFP， ∵P是线段AF的中点，∴AP＝PF， 又∵∠APQ＝∠FPE∴△APQ≌△FPE. 1 2 3 4 5 6 3.[长春九台区期末]如图，在正方形ABCD和▱ECGF中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段AF的中点，连结DP，连结EP并延长，交AD于点Q. ∴AQ＝EF，QP＝PE， 又∵∠DPE＝90°，∴QD＝DE， ∵AD＝DC，∴AQ＝EC. 又∵AQ＝EF，∴EC＝EF. ∴矩形ECGF是正方形. 1 2 3 4 5 6 4.（1）如图①，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连结CP，判断四边形CODP的形状，并说明理由； 解：（1）四边形CODP是菱形. 理由：∵DP∥OC，DP＝OC，∴四边 形CODP是平行四边形，∵四边形ABCD是 矩形，∴OC＝OD，∴四边形CODP是菱形. 1 2 3 4 5 6 （2）如图②，如果（1）中的矩形变为菱形，结论应变为什 么？说明理由； 解：（2）四边形CODP是矩形.理由： ∵DP∥OC，DP＝OC，∴四边形CODP 是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形CODP是矩形. 1 2 3 4 5 6 （3）如图③，如果（1）中的矩形变为正方形，结论又应变 为什么？说明理由. 解：（3）四边形CODP是正方形.理由： ∵DP∥OC，DP＝OC，∴四边形CODP是平 行四边形.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DOC＝ 90°，OD＝OC，∴四边形CODP是正方形. 1 2 3 4 5 6 应用3　 利用正方形的性质与判定解决面积或周长问题 5.[临