第19章矩形菱形与正方形专题强化训练七训练1特殊平行四边形的折叠问题 练习课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级下册

第19章　矩形、菱形与正方形 专题强化训练（七） 训练1　特殊平行四边形的折叠问题 华师吉林 八年级下 类型1　 矩形的折叠问题 1.[长春二道区月考]如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使 C，A两点重合，点D落在点G处.已知AB＝4，BC＝8. 1 2 3 4 5 6 7 （1）求证：△AEF是等腰三角形； （1）证明：由折叠的性质可得∠AEF＝∠CEF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形. （2）线段FD的长为 　3　⁠. 3　 1 2 3 4 5 6 7 1.[长春二道区月考]如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使 C，A两点重合，点D落在点G处.已知AB＝4，BC＝8. 2.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在边AD上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连结CG. （1）求证：四边形CEFG是菱形； （1）证明：由折叠的性质可得∠BEC＝∠BEF，FE ＝CE. 1 2 3 4 5 6 7 ∵FG∥CD，∴∠FGE＝∠CEB， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴FG＝FE，∴FG＝EC， 又∵FG∥CE，∴四边形CEFG是平行四边形. ∵FG＝FE，∴四边形CEFG是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 （2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积. （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝10.由折叠的性质可得BC＝BF，∴BF＝10.在Rt△ABF中，AF＝＝＝8.∴DF＝2. 1 2 3 4 5 6 7 2.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在边AD上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连结CG. 设EF＝x，则CE＝x，∴DE＝6－x.在Rt△DEF中，有DF2＋DE2＝EF2，即22＋（6－x）2＝x2， 解得x＝，∴CE＝，∴四边形CEFG 的面积＝CE·DF＝×2＝. 1 2 3 4 5 6 7 3.[吉林期中]如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O. （1）求证：OA＝OC； （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA.由折叠，得∠BCA＝∠ECA， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴OA＝OC. 1 2 3 4 5 6 7 （2）若AB＝4，BC＝8. ①求△OAC的面积；②OE的长为 　3　⁠. 3　 （2）①解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝ 90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，由（1）得AO＝CO.设OD＝x，则OC＝OA＝8－x.在Rt△ODC中，由勾股定理，得OD2＋CD2＝OC2，∴x2＋42＝（8－x）2，∴x＝3，∴OA＝5.∴S△OAC＝OA·CD＝×5×4＝10. 1 2 3 4 5 6 7 3.[吉林期中]如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O. 类型2　 菱形的折叠问题 4.[无锡月考]如图，在边长为6的菱形ABCD中，AB＝AC，E、F分别是边BC、AB上的点，连结EF.将∠B沿EF翻折，使点B的对应点B'落在AC的中点上，此时四边形BEB'F是什么四边形？说明理由. 解：四边形BEB'F是菱形，理 由如下：如图，连结BB’， 1 2 3 4 5 6 7 ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC. 又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°. 由题易知BB'是等边三角形ABC的角平分线， ∴∠EBB'＝∠ABC＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 由翻折可得BE＝B'E，∠EB'F＝∠ABC ＝60°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝30°， ∴∠B'EC＝60°，∴∠B'EC＝∠EB'F，∠ABC＝∠B'EC，∴FB'∥BC，FB∥EB'，∴四边形BEB'F是平行四边形.又∵BE＝B'E，∴四边形BEB'F是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 5.[晋中期末]如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），将△ABP沿BP折叠，得到△EBP，BE交菱形的一边于点F，PE所在直线交CD所在直线于点M. 1 2 3 4 5 6 7 （1）如图①，当点E在AD上方 时，AP的长的取值范围为  　0＜AP＜3　⁠； 0＜AP＜3　 （2）若BE⊥CD，如图②，求证：MC＝PE. 证明：由折叠可得∠E＝∠A＝60°， ∵BE⊥CD，∴∠MFE＝90°. ∴∠FME＝30°.∴∠DMP＝30°. ∵在菱形ABCD中，∠A