第17招特殊四边形的性质在动点问题中的巧用习题课件 2023—2024学年冀教版数学八年级下册

第17招 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用 冀教版 八年级下 整合方法·提升练 例 典 例 剖 析 如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACH的平分线于点F，连接AE，AF. 整合方法·提升练 【解题秘方】 求点O运动到何处时四边形AECF是矩形，可以先把矩形当作已知条件，求出O点与AC的位置关系，然后添加条件，经过说理，证明四边形AECF是矩形．这是条件探索题的一般思路． 整合方法·提升练 (1)证明：EO＝FO. 证明：∵MN∥BC， ∴∠CEO＝∠ECB，∠CFO＝∠FCH. ∵CE，CF分别是∠BCA，∠ACH的平分线， ∴∠ECO＝∠ECB，∠FCO＝∠FCH. ∴∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO. ∴EO＝OC，FO＝OC. ∴EO＝FO. 整合方法·提升练 (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由． 解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 理由如下：由(1)知OE＝OF. ∵点O是AC的中点，∴AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵OE＝OC，∴AC＝EF.∴四边形AECF是矩形． 整合方法·提升练 技巧 1 巧用平行四边形的性质解动点问题 分 类 训 练 1 如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合，且E点在F点的左侧)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样 的数量关系和位置关系，并说明 理由． 整合方法·提升练 【解】AE＝CF，AE∥CF.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠CDF. 又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF. ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD. ∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°， ∴∠AED＝∠CFB. ∴AE∥CF. 整合方法·提升练 【点方法】 证△ABE≌△CDF得到AE＝CF，即得到数量关系，证∠AED＝∠CFB得到AE∥CF，即得到位置关系． 整合方法·提升练 2 已知等边三角形ABC的边长为12，D为射线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝60°，连接BF. (1)如图，当点D在BC边上时，求证： △ACD≌△ABF；　 技巧 2 巧用菱形的性质解动点问题 整合方法·提升练 整合方法·提升练 (2)在点D移动的过程中，当BF＝3时，求BD的长度． 【解】∵等边三角形ABC的边长为12， ∴BC＝12.∵△ACD≌△ABF，∴CD＝BF＝3. 当点D在线段BC上时， 此时BD＝BC－CD＝12－3＝9； 当点D在线段BC的延长线上时， 此时BD＝BC＋CD＝12＋3＝15. 综上所述，BD的长度为9或15. 整合方法·提升练 3 如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形 OCFD边上的动点，则PG的最小 值是(　　) 技巧 3 巧用矩形的性质解动点问题 整合方法·提升练 【点拨】 【答案】A 先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值，过D点作DM⊥AC于点M，过G点作GP⊥AC于点P，则GP∥MD，利用平行四边形的面积求DM的长，再利用三角形的中位线定理可求PG的长，进而可求解． 整合方法·提升练 4 如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连接AF，CE. 整合方法·提升练 (1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长． 【解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC. ∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO. ∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC. ∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形． 整合方法·提升练 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，AB＝4 cm， 由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm. 整合方法·提升练 (2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 整合方法·提升练 【解】显然当P点在AF上，Q点在CD上时，以A，C，P，Q四点为顶点不可能