测练第12招构造中位线的五种常用方法习题课件 2023—2024学年冀教版数学八年级下册

第12招 构造中位线的五种常用方法 冀教版 八年级下 例 典 例 剖 析 极速提分法 【解题秘方】 图中不存在中点，但结论与三角形中位线定理很类似，因此应设法寻找中点，再构造三角形的中位线． 极速提分法 极速提分法 方法 1 连接两点构造三角形的中位线 分 类 训 练 1 [2023·广西]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为________． 极速提分法 【点拨】 极速提分法 2 如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长． 方法 2 已知角平分线及垂直构造中位线 极速提分法 极速提分法 3 如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC的中点，求DE的长. 极速提分法 【解】如图，延长BD交AC于点F. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°＝∠ADF. 极速提分法 极速提分法 方法 3 倍长法构造三角形的中位线 极速提分法 极速提分法 ∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°.∴∠FBN＝180°－∠BFN－∠BNF＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°. 又∵∠ABC＝∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN. 极速提分法 方法 4 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线 极速提分法 极速提分法 极速提分法 6 [2023·武汉外国语学校月考]如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N分别为边AD，BC的中点，EF⊥MN交AB于点E，交CD于点F.求证：∠AEF＝∠DFE. 极速提分法 【证明】如图所示，设MN与EF相交于点O，NM的延长线与BA的延长线交于点P，与CD的延长线交于点Q，连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG. 极速提分法 极速提分法 ∵MG∥AB，∴∠GMN＝∠BPN. ∵NG∥CD，∴∠GNM＝∠NQC.∴∠BPN＝∠NQC. ∵EF⊥MN， ∴∠EOP＝90°，∠FOQ＝90°. ∴∠BPN＋∠AEF＝90°，∠NQC＋∠DFE＝90°. ∴∠AEF＝∠DFE. 极速提分法 【点方法】 本题考查了三角形中位线定理及平行线的性质，巧妙构造三角形的中位线是解此题的关键． 极速提分法 方法 5 已知一边中点，推理得出另一边中点，再取第三 边中点构造三角形的中位线 极速提分法 【证明】如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥ AD，交BN的延长线于点E. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点． 又∵H为NC的中点， ∴DH∥BN，HN＝HC. 又∵PD∥EH， ∴四边形PDHE是平行四边形．∴HE＝PD. 极速提分法 极速提分法 如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，AM⊥CE于点M，AN⊥BD于点N，求证：MN＝ (AB＋AC－BC)． 证明：如图，延长AM，AN分别交BC于点F，G. ∵BD平分∠ABC，AN⊥BD，∴AN＝NG，AB＝BG. 同理可得AM＝MF，AC＝CF， ∴M，N分别为AF，AG的中点，∴MN＝FG. 又∵FG＝BG＋FC－BC＝AB＋AC－BC， ∴MN＝(AB＋AC－BC)． 首先证明出MN是△AEF的中位线，得出 MN＝AE，然后由正方形的性质和勾股定理得到AE＝＝，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可． 【解】如图，延长BD交CA的延长线于点N. 由题易知∠NAD＝∠BAD，∠ADN＝∠ADB＝90°. 又∵AD＝AD，∴△AND≌△ABD(ASA)． ∴DN＝DB，AN＝AB. 又∵M为BC的中点， ∴DM为△BNC的中位线， ∴DM＝NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝×(12＋18)＝15. 又∵AD＝AD， ∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD. ∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4. ∵E为BC的中点，BD＝FD，∴DE是△BCF的中位线． ∴DE＝CF＝×4＝2. 4 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，连接ME，CF.求证：ME＝CF. 【证明】如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN. ∵M为AF的中点，EN＝EF， ∴ME＝AN. ∵EF＝EN，∠BEF＝90°， ∴BE垂直平分线段FN. ∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN. 在△BCF和△BAN中， ∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN