测练第14招利用矩形的性质巧解折叠问题习题课件 2023—2024学年冀教版数学八年级下册

第14招 利用矩形的性质巧解折叠问题 冀教版 八年级下 例 典 例 剖 析 如图，纸片ABCD为平行四边形．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上的点E处，折痕为AF. 已知 AB＝10，AD＝8，DE＝6. 极速提分法 (1)求证：▱ABCD是矩形； 【解题秘方】 根据折叠变换的对称性可知AE＝AB，在△ADE中，利用勾股定理的逆定理证明∠D＝90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明▱ABCD是矩形即可； 极速提分法 证明：由折叠的性质得AE＝AB＝10. ∴AE2＝102＝100. 又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100， ∴AD2＋DE2＝AE2. ∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°. ∴▱ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 极速提分法 (2)求BF的长； 【解题秘方】 设BF＝x，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可； 极速提分法 解：由题意易知EF＝BF，CD＝AB＝10，BC＝AD＝8， EC＝CD－DE＝4. 设BF＝x，则EF＝BF＝x，FC＝BC－BF＝8－x. 由(1)可知▱ABCD是矩形， ∴∠C＝90°. 在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2. 解得x＝5，故BF＝5. 极速提分法 (3)求折痕AF的长． 【解题秘方】 在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可． 极速提分法 极速提分法 题型 1 利用矩形的性质巧求折叠中线段的长 分 类 训 练 1 [2022·丽水]如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF. 极速提分法 (1)求证：△PDE≌△CDF； 【证明】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD. 由折叠的性质，得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°， ∠B＝∠PDF＝90°， ∴∠P＝∠C，PD＝CD，∠PDF＝∠ADC. 极速提分法 极速提分法 (2)若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长． 【解】如图，过点E作EG⊥BC于点G， 则∠EGF＝90°，易得四边形ABGE，四边形EGCD是矩形，∴AE＝BG，EG＝CD＝4 cm， DE＝CG.由折叠的性质，得AE＝PE. 由(1)知△PDE≌△CDF，∴PE＝CF. ∴AE＝PE＝BG＝CF， 极速提分法 极速提分法 极速提分法 2 [2023·汕头金信中学模拟]如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，将△ADF和△CBE分别沿直线AF，CE折叠，使点D，B分别落在对角线AC上的点H，G处． 题型 2 利用矩形的性质巧求折叠中重叠的面积 极速提分法 (1)求证：△ADF≌△CBE； 极速提分法 (2)若DA＝3，DC＝4，求△ACF的面积． 极速提分法 极速提分法 3 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与CD的交点为点O，连接DE.求证： 题型 3 利用矩形的性质巧证折叠中的平行线 极速提分法 (1)△ADE≌△CED； 【证明】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD. 由折叠的性质，得BC＝CE，AB＝AE， ∴AD＝CE，AE＝CD. 又∵DE＝ED，∴△ADE≌△CED(SSS)． 极速提分法 (2)DE∥AC. 【证明】由(1)知△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC. 由折叠的性质，得∠OAC＝∠CAB. 易知AB∥CD，∴∠OCA＝∠CAB，∴∠OAC＝∠OCA. 又∵∠AOC＝∠DOE， ∴∠OAC＋∠OCA＝∠DEA＋∠EDC， ∴2∠OAC＝2∠DEA，即∠OAC＝∠DEA.∴DE∥AC. 极速提分法 4 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N，连接CN. 题型 4 利用矩形的性质巧求折叠中线段的比 极速提分法 (1)求证：CM＝CN； 【证明】由折叠的性质，得∠DNM＝∠ENM， ∵∠ENA＝∠DNC，∴∠DNM－∠DNC＝∠ENM－∠ENA，即∠ANM＝∠CNM. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC. ∴∠ANM＝∠CMN.∴∠CMN＝∠CNM，即CM＝CN. 极速提分法 【点思路】 根据折叠的性质得∠ANM＝∠CNM，再由AD∥BC得到∠ANM＝∠CMN，最后根据等角对等边得到CM＝CN； 极速提分法 极速提分法 极速提分法 【点思路】 极速提分法 5 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E. 题型 5 利用矩形的性质巧求折叠中线段的和 极速提分法 (1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明； 极速提分法 (2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC