第15招菱形的性质和判定的四种应用习题课件 2023—2024学年冀教版数学八年级下册

第15招 菱形的性质和判定的四种应用 冀教版 八年级下 例 典 例 剖 析 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝6 cm.求此菱形的周长和面积． 极速提分法 【解题秘方】 要求菱形的周长，需先求菱形的边长，而边长可通过菱形的一条对角线分菱形所得的两个等边三角形求出．要求菱形的面积，可以先求菱形的另一条对角线长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出． . . 极速提分法 极速提分法 极速提分法 应用 1 利用菱形的判定判断图形的形状 分 类 训 练 1 [2023·衡水五中模拟]如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点． 极速提分法 (1)求证：△ABF≌△CDE； 极速提分法 (2)若∠AFC＝2∠D，求证：四边形AFCE是菱形． 极速提分法 又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形． 同理可证四边形CDEF是平行四边形， ∴∠CFE＝∠D. ∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFE＝∠CFE＝∠D. 又∵∠AEF＝∠CFE，∴∠AFE＝∠AEF. ∴AF＝AE，即四边形AFCE是菱形． 极速提分法 2 [2023·兰州]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE. 极速提分法 (1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由； 【解】四边形OCDE是菱形．理由如下： ∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE. ∵CE是线段OD的垂直平分线， ∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO. 极速提分法 极速提分法 (2)当CD＝4时，求EG的长． 极速提分法 极速提分法 3 [2023·石家庄外国语学校模拟]如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF. 极速提分法 (1)求证：△ADE≌△CBF. 极速提分法 (2)连接AF，CE，当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 【解】当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC. ∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB，即AB＝AD. 极速提分法 ∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD.∴AC⊥EF. ∵DE＝BF，∴DE＋OD＝BF＋OB，即OE＝OF. 又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形． ∵AC⊥EF，∴平行四边形AFCE是菱形． 极速提分法 4 [2022·青海]如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.求证： 应用 2 利用菱形的性质证角相等 极速提分法 (1)△DCE≌△BCE； 【证明】∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE. 又∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE(SAS)． 极速提分法 (2)∠AFD＝∠EBC. 【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AF. ∴∠CDF＝∠AFD. 由(1)知△DCE≌△BCE，∴∠CDF＝∠EBC. ∴∠AFD＝∠EBC. 极速提分法 5 如图，已知▱ABCD，O为BD的中点，点E在边AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； 应用 3 利用菱形的性质求线段长 极速提分法 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB. ∵O为BD的中点，∴OD＝OB. ∴△ODE≌△OBF(AAS)．∴DE＝BF. 又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形． 极速提分法 【解】如图，过点B作BM⊥AD交DA的延长线于点M， 则∠M＝90°. 极速提分法 极速提分法 6 [2022·滨州]如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F. 应用 4 利用菱形的性质求面积 极速提分法 (1)求菱形ABCD的面积； 极速提分法 (2)求证：AE＝EF. 【证明】连接EC. ∵四边形ABCD是菱形，点E在对角线BD上，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分线段AC，∠BCD＝120°. ∴EA＝EC，∠DCA＝60°. ∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°. 极速提分法 ∵∠AEF＝120°， ∴∠EAC＋∠EFC＝360°－∠AEF－∠ACF＝360°－120°－120°＝120°. 又∵∠ACF＝∠ECA＋∠ECF＝120°，∠EAC＝∠ECA， ∴∠EFC＝∠ECF