2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破课件第七章平行线的证明

第七章　平行线的证明 ⁠ ⁠ 考点一　判断命题的真假 典例1　命题∶周长相等的长方形，其面积一定相等. （1） 把这个命题改写为“如果……那么……”的形式. （2） 判断该命题的真假；若是假命题，请你利用举反例的方法证明. 思路导引　（1） 根据“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，改写即可.（2） 根据长方形的面积公式，可知该命题是假命题，为此只需举出一个反例，说明两个周长相等的长方形，其面积并不相等即可. 规范解答　（1） 如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等. （2） 该命题是假命题.举反例如下∶ 如图，在长方形ABCD和长方形EFGH中，AB＝2，AD＝5，EF＝3，EH＝4. ∵ 长方形ABCD的周长＝2（AB＋AD）＝2×（2＋5）＝14，长方形EFGH的周长＝2（EF＋EH）＝2×（3＋4）＝14， ∴ 长方形ABCD的周长＝长方形EFGH的周长. ∵ 长方形ABCD的面积为AB·AD＝2×5＝10，长方形EFGH的面积为EF·EH＝3×4＝12， ∴ 长方形ABCD的面积≠长方形EFGH的面积. ∴ 命题“周长相等的长方形，其面积一定相等” 是假命题. 　 （典例1图） ⁠ 1. 如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部.给出下列信息∶① AB∥CE；② CE平分∠DCA；③ AC＝BC.请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题，试判断这个命题是否正确，并说明理由. （第1题） 解∶答案不唯一，如选择①②作为条件，③作为结论.这个命题正确.理由∶ ∵ AB∥CE，∴ ∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD.∵ CE平分∠DCA，∴ ∠ECA＝∠ECD.∴ ∠A＝∠B.∴ AC＝BC. 考点二　平行线的性质与判定的综合应用 典例2　如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，求证∶∠3＝∠E. （典例2图） 思路导引　根据垂线的定义，可得∠ABF＝∠CDF＝90°，进而根据同位角之间的关系证明AB∥CD，然后由内错角之间的关系证明AB∥EF，最后利用平行线的性质得到∠3＝∠E. 规范解答　∵ AB⊥BF，CD⊥BF（已知）， ∴ ∠ABF＝∠CDF＝90°（垂直的定义）. ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）. ∵ ∠1＝∠2（已知）， ∴ AB∥EF（内错角相等，两直线平行）. ∴ CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）. ∴ ∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）. ⁠ 2. 如图，AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，∠1＝∠2. （1） 求证∶∠BAF与∠AFD互补. 解∶（1） ∵ AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，∴ ∠CEF＝∠CBD＝90°.∴ AF∥BD.∴ ∠1＝∠BDC.∵ ∠1＝∠2，∴ ∠BDC＝∠2.∴ AB∥CD.∴ ∠BAF＋∠AFD＝180°，即∠BAF与∠AFD互补. （第2题） （2） 若AD平分∠BAF，∠C＝40°，求∠COD的度数. 解∶（2） 在Rt△CEF中，∠C＝40°，∴ ∠1＝180°－90°－40°＝50°. ∵ AB∥CD，∴ ∠1＝∠BAF＝50°.∵ AD平分∠BAF，∴ ∠DAF＝∠BAF＝×50°＝25°.∵ ∠AEO＝∠CEF＝90°，∴ ∠COD＝∠AEO＋∠DAF＝90°＋25°＝115°. 考点三　三角形内角和定理与推论的应用 典例3　（1） 问题发现∶ 如图①，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A＝ 　　　　⁠，由此发现∶∠1与∠C，∠A之间的数量关系是 　　　　　　⁠，用语言叙述为三角形的一个外角等于 　　　　　　　⁠.  （2） 结论运用∶ 如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上的点E处.若∠A＝22°，求∠BDC的度数. （典例3图） 思路导引　（1） 利用平角的定义与三角形的内角和定理可得结论.（2） 利用折叠的性质，即可求得∠ACD的度数，再利用（1）中的结论求出∠BDC的度数. 规范解答　（1） ∵ ∠1＋∠CBA＝180°，∠C＋∠A＋∠CBA＝180°，∴ ∠1＝∠A＋∠C.∴ ∠A＝∠1－∠C＝100°－70°＝30°.故填30°；∠1＝∠A＋∠C；与它不相邻的两个内角的和. （2） ∵ △CBD沿CD折叠得到△CED， ∴ △CBD≌△CED. ∴ ∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°. ∴ ∠BDC＝∠A＋∠ACD＝22°＋45°＝67°. ⁠ 3. （1） 在锐角三角形ABC中，边AC上的高所在直线和边AB上的高所在直线的交点为P，∠BPC＝110°，求∠A的度数. （2） 如图①，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，当点D在直线AC上，且B，P，D三点共线时，∠APC＝100°