2024年中考数学（北师大版）二轮复习高频考点突破课件 第一章 勾股定理

第一章　勾股定理 ⁠ ⁠ 考点一　利用勾股定理求线段的长度 典例1　（2022·新乡原阳期中）如图，CD是△ABC中边AB上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD，求BC的长. （典例1图） 思路导引　先在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD的长，再根据BC＝3AD求得BC的长. 规范解答　因为CD是△ABC中边AB上的高， 所以CD⊥AB. 所以∠ADC＝90°. 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝102－82＝36， 所以 AD＝6. 所以BC＝3AD＝3×6＝18. 方法归纳 理解勾股定理的表达式应该注意的问题 （1） 要理解勾股定理表达式中每个字母的意义∶只有当a，b分别表示直角边、c表示斜边时，勾股定理的表达式才能为a2＋b2＝c2.（2） 公式的变形∶为了方便计算，勾股定理还可以表示为a2＝ c2－b2或b2＝ c2－a2. ⁠ 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15.求∶ （1） CD的长. 解∶（1） 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625.所以AB＝25.因为CD⊥AB，所以S△ABC＝AB·CD＝AC·BC.所以CD＝＝＝12. （第1题） （2） AD的长. 解∶（2） 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256.所以AD＝16. 考点二　利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 典例2　在解答“判定由长度分别为，2，的线段组成的三角形是不是直角三角形.”一题中，小明是这样做的∶ 解∶设a＝，b＝2，c＝. 因为a2＋b2＝＋22＝≠＝c2， 所以由长度分别为，2，的线段组成的三角形不是直角三角形. （1） 你认为小明的做法正确吗？请说明理由. （2） 如果你认为小明的做法不正确，请你写出正确的判定方法. 思路导引　（1） 因为小明的做法中没有先确定哪条边最长，所以小明的做法错误.（2） 应先把三条线段按长短顺序排列，然后看两条较短线段长度的平方和是否等于第三条线段长度的平方，若相等，则是直角三角形，否则不是. 规范解答　（1） 小明的做法不正确. 理由∶小明没有先确定直角边与斜边的长度，导致解答错误. （2） 设a＝，b＝2，c＝. 因为＜＜2，所以a＜c＜b. 因为a2＋c2＝＋＝＋＝＝4＝22＝b2， 所以由长度分别为，2，的线段组成的三角形是直角三角形. ⁠ 2. 如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，若每个小正方形的边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题. （第2题） （1） △ABC的面积为 　5　⁠.  （2） 判断△ABC的形状，并说明理由. 解∶△ABC是直角三角形. 理由∶由勾股定理，得AB2＝12＋22＝5，AC2＝42＋22＝20，BC2＝42＋32＝25，所以AB2＋AC2＝BC2.所以△ABC是直角三角形. 5　 考点三　利用勾股定理解决实际问题 典例3　如图①，荡秋千时，绳子最低点E离地面1m，荡到最高点D时离地面4m，此时秋千在水平方向移动的距离BC是6m，求绳子的长度. 思路导引　过点D作DF⊥AB于点F.设绳子的长度为xm.在Rt△ADF中，根据勾股定理即可求得x的值. 规范解答　如图②，过点D作DF⊥AB于点F，易得BF＝CD＝4m. 设绳子的长度为xm. （典例3图） 根据题意，可知AD＝AE＝xm，AB＝（x＋1）m，AF＝AB－BF＝x＋1－4＝（x－3）m，DF＝BC＝6m. 在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AF2＋DF2＝AD2，即（x－3）2＋62＝x2，解得x＝7.5. 所以绳子的长度是7.5m. 方法归纳 作辅助线构造直角三角形的常用方法 （1） 过某点向某条直线作垂线（如本题过点D作DF⊥AB于点F）.（2） 已知一条直线的垂线，过某点作这条垂线的平行线（如本题也可过点D作BC的平行线，交AB于点F）.（3） 延长直角三角形的某条直角边.（4） 连接直角两边上的点. ⁠ 3. 如图，一圆柱的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ （第3题） 解∶如图所示为圆柱的侧面展开图，则AC的长即为蚂蚁爬行的最短路程.因为圆柱的底面周长为24cm，所以AD＝24×＝12（cm）.又因为CD＝AB＝9cm，所以在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2＝122＋92＝225（cm2）.所以AC＝15cm.所以蚂蚁爬行的最短路程是15cm. （第3题答案） ⁠ 1. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（　C　） A. 7，24，25 B. 5，12，13 C. 9，14，15 D. 1