提练第2招与圆的切线有关的计算与证明的常见类型习题课件 2023-2024学年冀教版数学九年级下册

第2招 与圆的切线有关的计算与证明的常见类型 冀教版 九年级下册 典 例 剖 析 如图,已知BC是⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,E为AC的中点,连接DE. (1)若AD=DB,OC=5,求AC的长; 例 极速提分法 典 例 剖 析 解题秘方:看到切线,就想作过切点的半径;看到直径,就想直径所对的圆周角是直角;看到判定切线,就想: 若已知直线与圆有公共点,则采用判定定理法,即连半径,证垂直; 极速提分法 典 例 剖 析 解:连接CD,如图. ∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90 , 即CD⊥AB. ∵AD=DB,∴AC=BC=2OC=10. 极速提分法 典 例 剖 析 (2)求证:DE是⊙O的切线. 解题秘方:若未知直线与圆有公共点,则采用数量关系法,即作垂直,证半径. 极速提分法 极速提分法 类型 求角的大小 1 分 类 训 练 1. [2022 泰州] [新考法 构造直角三角形法]如图,PA与⊙O相切于点A,PO与⊙O相交于点B,点C在优弧AB上,且与点A,B不重合.若∠P=26 ,则∠C的度数为_. 32 极速提分法 分 类 训 练 2. [2023 孝感]如图,在 ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F. 类型 求线段长度 2 极速提分法 (1)求证:AB=AC; 证明:如图,连接OD. ∵DE是⊙O的切线, ∴OD⊥DE. ∵DE⊥AC,∴OD∥AC.∴∠C=∠ODB. ∵OD=OB,∴∠B=∠ODB.∴∠B=∠C. ∴AB=AC. 极速提分法 (2)若AE=3,DE=6,求AF的长. 解:如图,连接DF,DA, ∵∠F=∠B,∠B=∠C, ∴∠F=∠C. ∴DF=DC. ∵DE⊥CF,∴FE=EC. ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90 . ∴∠ADC=90 ,∴∠ADE+∠CDE=90 . 极速提分法 ∵DE⊥AC,∴∠C+∠CDE=90 ,∠AED=90 . ∴∠C=∠ADE,∠AED=∠CDA=90 . ∴ DAE∽ CDE. ∴DE:CE=AE:DE. ∵AE=3,DE=6,∴6 CE=3 6. ∴CE=12.∴EF=EC=12. ∴AF=EF-AE=12-3=9. 极速提分法 分 类 训 练 3. [新考法 方程思想]如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,以AC为直径作⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F. 类型 求圆的直径 3 极速提分法 证明:如图,连接OD,CD. ∵AC是⊙O的直径, ∴∠ADC=90 . ∴∠BDC=90 . (1)求证:DE是⊙O的切线; 极速提分法 极速提分法 (2)若CF=2,DF=4,求⊙O的直径的长. 解:设⊙O的半径长为x, 在Rt ODF中,OD2+DF2=OF2, 即x2+42=(x+2)2,解得x=3, ∴⊙O的直径长为6. 极速提分法 类型 求角的大小 4 分 类 训 练 4.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,连接AO并延长,交PB的延长线于点C,连接PO,交⊙O于点D. 极速提分法 (1)求证:PO平分∠APC; 证明:如图,连接OB. ∵PA,PB是⊙O的切线, ∴OA⊥AP,OB⊥BP. 又∵OA=OB,OP=OP, ∴Rt AOP≌Rt BOP, ∴∠APO=∠BPO,∴PO平分∠APC. 极速提分法 【点拨】 连接OB,根据切线的性质和角平分线的定义可证明; 极速提分法 (2)连接DB,若∠C=30 ,求证:DB∥AC. 极速提分法 又∵OD=OB, ∴ ODB是等边三角形,∴∠OBD=60 , ∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90 -60 =30 , ∴∠DBP=∠C, ∴DB∥AC. 极速提分法 【点拨】 先证 OBD是等边三角形,再通过计算得 ∠DBP=∠C,最后根据平行线的判定可证明. 极速提分法 分 类 训 练 5. [2023 北京三帆中学模拟]如图,四边形OABC中,∠OAB=90 ,OA=OC,BA=BC.以O为圆心,OA为半径作⊙O,OB与⊙O交于点E. 类型 证明线段相等 5 极速提分法 (1)求证:BC是⊙O的切线; 证明:∵OA=OC,BA=BC,OB=OB, ∴ AOB≌ COB(SSS) , ∴∠OAB=∠OCB=90 ,∴OC⊥BC, 又∵OC为⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线. 极速提分法 (2) 延长BO交⊙O于点D,点F为OA的中点,连接AD,EF,AC. ①补全图形; 解:补全图形如图所示. 极速提分法 ②若EF∥AB,求证:AD=AC. 极速提分法 ∴∠AOC=120 ,∠AOD=120 . ∴∠AOC=∠AOD. ∴AD=AC. 极速提分法 证明:连接OD,如图. ∵∠BDC=90