提练第3招圆中常用的作辅助线的八种方法习题课件 2023—2024学年冀教版数学九年级下册

第3招 圆中常用的作辅助线的八种方法 冀教版 九年级下册 方法 作半径，巧用同圆的半径相等 1 分 类 训 练 1. 如图，两个正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，点E在半圆O的直径上，点G在大正方形的 边AB上．若小正方形的边长为4 cm， 求该半圆的半径． 极速提分法 极速提分法 极速提分法 【点方法】 在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题． 极速提分法 分 类 训 练 2. [2023·成都]如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE. 方法 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等 2 极速提分法 (1)求证：AC＝BC； 证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B， ∴∠B＝∠ACE. ∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE. ∴∠B＝∠BAC.∴AC＝BC. 极速提分法 (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． 极速提分法 极速提分法 分 类 训 练 3. [2023·陕西] [新考法·相似比法]如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F. 方法 作直径，巧用90°的圆周角所对的弦是直径 3 极速提分法 (1)求证：BD＝BC； 证明：如图，连接DC， 则∠BDC＝∠BAC＝45°. ∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°， ∴∠BCD＝90°－∠BDC＝ 45°， ∴∠BCD＝∠BDC. ∴BD＝BC. 极速提分法 (2)若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长． 极速提分法 极速提分法 分 类 训 练 4. [2023·福州第十八中学模拟]如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E，连接BC. 方法 证切线时辅助线作法的应用 4 极速提分法 (1)求证：OD∥BC； 极速提分法 ∵AD＝CD，∴DE⊥AC. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC. ∴OD∥BC. 极速提分法 (2)若tan∠ABC＝2，求证：DA与⊙O相切． 极速提分法 极速提分法 ∴AO2＋AD2＝OD2， ∴∠OAD＝90°，即OA⊥AD. ∵OA是⊙O的半径，∴DA与⊙O相切． 极速提分法 分 类 训 练 5.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M. 方法 遇弦加弦心距或半径 5 极速提分法 证明：∵△ABC为⊙O的内接三角形， ∴点O在线段BC的垂直平分线上， ∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴OA是线段BC的垂直平分线，∴AM⊥BC； (1)求证：AM⊥BC； 极速提分法 极速提分法 分 类 训 练 6. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点． 方法 遇直径巧加直径所对的圆周角 6 极速提分法 证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD. ∵点D是BC的中点， ∴AD是线段BC的垂直平分线． ∴AB＝AC. 又∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC为等边三角形． (1)求证：△ABC为等边三角形． 极速提分法 解：如图，连接BE. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°，即BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形， ∴AE＝EC，即E为AC的中点． (2)求DE的长． 极速提分法 极速提分法 分 类 训 练 7.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB. 方法 遇切线巧作过切点的半径 7 极速提分法 证明：如图，连接OB，∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA.　 ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO. (1)求证：PB是⊙O的切线； 极速提分法 ∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°. ∴∠PBO＝90°，即OB⊥PB. 又∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线． 极速提分法 解：如图，连接OP， ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP为线段AB的垂直平分线． ∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB. ∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°. 极速提分法 由(1)知∠PAO＝90°. ∴∠APO＝30°.∴P