提练第4招圆与学科内知识的综合应用 课件 2023—2024学年冀教版数学九年级下册

第4招 圆与学科内知识的综合应用 冀教版 九年级下册 应用 圆与三角函数的综合 1 分 类 训 练 1. [2023·聊城] [新考法·函数比法]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D.∠ADC的平分线DE交AC于点E， 以AD上的点O为圆心，OD为半径 作⊙O，恰好过点E. 极速提分法 (1)求证：AC是⊙O的切线； 证明：如图，连接OE，∵OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE. ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ODE. ∴∠OED＝∠CDE. ∴OE∥CD.∠AEO＝∠ACB. ∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°. ∴OE⊥AC. ∴AC是⊙O的切线． 极速提分法 极速提分法 极速提分法 极速提分法 分 类 训 练 2.如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点P在AB上移动(P不与A，B重合)，P，C分别位于AB的异侧，△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜边PD经过 点B，BA，PC相交于点E. 应用 圆与相似的综合 2 ︵ 极速提分法 解：连接PA.∵BA平分∠PBC， ∴∠PBA＝∠CBA＝∠ACP. ∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCD＋∠PCB＝90°， ∴∠ACP＝∠BCD. ∴∠BCD＝∠CBA＝∠PBA. ∴AB∥CD.∴∠PBA＝∠D.∴∠BCD＝∠D. 极速提分法 极速提分法 (2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD的面积的最大值． 极速提分法 极速提分法 分 类 训 练 3. [2023·广东华南师大附中月考]如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P(1，0)为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A，B，C，D四点， 连接CP，⊙P的半径为2. 应用 圆与函数的综合 3 极速提分法 (1)求出A，B，C，D四点的坐标． 解：∵P(1，0)，∴OP＝1. ∵⊙P的半径是2，∴PA＝PB＝PC＝2. ∴OA＝2－1＝1，OB＝2＋1＝3. ∴A(－1，0)，B(3，0)． 极速提分法 极速提分法 (2)求过A，B，D三点的抛物线的函数表达式，并求出它的顶点坐标． 极速提分法 极速提分法 (3)若过弧BC的中点Q作⊙P的切线，交x轴于M，交y轴于N，求直线MN的表达式． ︵ ︵ 极速提分法 极速提分法 极速提分法 (2)若CD＝12，tan ∠ABC＝，求⊙O的半径． 解：如图，过D作DF⊥AB于F. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，CD＝12，∴DF＝CD＝12. ∵tan ∠ABC＝， ∴BF＝＝16.∴BD＝＝20. ∴BC＝CD＋BD＝32. ∴AC＝BC·tan ∠ABC＝24. ∴AD＝＝12. ∵OE∥CD， ∴∠AEO＝∠C，∠AOE＝∠ADC， ∴△AEO∽△ACD.∴＝. 即＝＝， 解得EO＝15－3. ∴⊙O的半径为15－3. (1)当BA平分∠PBC时，求的值； ∴BC＝BD. 又由∠PCD＝90°，易知PB＝BC＝BD. 又∵AB∥CD，∴PE＝EC. ∴BE是△PCD的中位线． ∴＝. 解：∵∠PCD＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CPD， ∴△ABC∽△PDC. ∴＝.∴＝＝. ∴CD＝2PC. ∴S△PCD＝PC·CD＝PC·2PC＝PC2. ∴当PC最大时，△PCD的面积最大， 即当PC为⊙O的直径时，△PCD的面积最大． ∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径． ∴当PC＝AB＝＝时，△PCD的面积最大，其最大值为()2＝5. 在Rt△COP中，由勾股定理得OC＝＝. ∴C(0，)． 由垂径定理可得OD＝OC＝. ∴D(0，－)． 解：设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c， ∵A(－1，0)，B(3，0)，D(0，－)， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－. ∵y＝x2－x－＝－， ∴抛物线的顶点坐标为. 解：连接PQ，如图． 在Rt△COP中，sin∠CPO＝＝， ∴∠CPO＝60°. ∵Q为弧BC的中点，∴＝. ∴∠CPQ＝∠BPQ＝(180°－60°)＝60°. ∵MN切⊙P于Q，∴∠PQM＝90°.∴∠QMP＝30°. ∵PQ＝2，∴PM＝2PQ＝4. ∴OM＝OP＋PM＝5.∴m(5，0)． 在Rt△MON中，∠OMN＝30°，∴MN＝2ON， ∵MN2＝ON2＋OM2，∴(2ON)2＝ON2＋52. ∴ON＝(负值已舍去)． ∴N. 设直线MN的表达式为y＝kx＋b′， 则 解得 ∴直线MN的表达式为y＝－x＋. $$