2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时）导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （2课时）导学案 【学习目标】 1.掌握一元二次不等式的解法(重点). 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点). 【自主学习】 一．一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 或 ，其中a，b，c均为常数，a≠0. 二．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 解读：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 解读：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：开口向上时，大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 教学新知：例1.请画出二次函数的图象； （1）求方程的根； 思考函数之间有什么关系？ 思考：不等式解集的端点值代表什么？ 例2.已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集. 练习：（1）已知二次函数的零点为-2和1，求关于x的的不等式的解集； （2）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集. 例3.若一元二次方程有一个正根和一个负根，求出a的取值范围. 思考：关于的方程,求为何值时. (1)方程一根大于,一根小于. (2)方程一个根在内,另一根在内. (3)方程的两个根都大于零? 例4.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 练习：解关于x的不等式 二．不等式恒成立问题 1.不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 a≠0 2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ 例5. 已知不等式恒成立，求实数k的取值范围. 练习：1.若不等式的解集为R，求实数k的取值范围； 2.若不等式的解集为R，求实数k的取值范围； 例6.当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； 练习：若对任意，都有，求a的取值范围. 强化练习．1.已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 2．已知函数． (1)当时，关于x的不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求关于的不等式的解集（结果用表示）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$