1.4 角平分线 三角形三个内角的平分线 第2课时课件2023-2024学年北师大版八年级数学下册

数学 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 北师大版 八年级下册 1.4 角平分线 三角形三个内角的平分线 第2课时 第一章 三角形的证明 胶州市第十中学 张达 1.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等”定理.(重点) 2.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理证明意识.(难点) 学习目标 在一个三角形区域内修建一个学校P,使得学校P到道路AB、BC、CA三边的距离都相等,请您在三角形区域内标出学校P的位置,你能解释其中的道理吗? A B C 导入新课 情境引入 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么? 三角形的内角平分线 一 发现:三角形的三条角平分线相交于一点. 讲授新课 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量,每组垂线段,你发现了什么? 发现:过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这个结论吗? 已知:如图所示,在 ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F. 求证:∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF. 证明 证明:∵BM是 ABC的角平分线,点P在BM上,且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E. ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理,PE=PF.∴PD=PE=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 即∠BAC的平分线经过点P. D E F A B C P N M 例.如图,在 ABC中,已知AC=BC, ∠C=90 , AD是 ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; E D A B C (1)解:∵AD是 ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E, ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90 ,∴∠B=45 .∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中, (2)求证:AB=AC+CD. E D A B C (2)证明:由(1)的求解过程易知,Rt ACD≌Rt AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 跟踪练习1:已知:如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 , ∠B=60 ,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为 M,N.求证:FE=FD. 证明:连接BF,由题意易知BF即 为∠ABC的平分线,则FM=FN, 在Rt ABC中,∵∠B=60 , ∴∠BAC=30 . ∴∠DAB= ∠BAC=15 . ∴∠FDN=∠DAB+∠B=75 , ∠FEM=∠BAC+∠ACE =30 + ∠ACB=30 +45 =75 . ∴∠FEM=∠FDN. 在 FEM与 FDN中, ∴ FEM≌ FDN. ∴FE=FD. M E N A B C P O D 例:如图,在直角 ABC中,AC=BC,∠C=90 ,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4, (1)求点O到 ABC三边的距离和. 12 解:连接OC M E N A B C P O D (2)若 ABC的周长为32,求 ABC的面积. 拓展:三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积 S= 。 跟踪练习2:已知:如图,P是∠ AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C、D. 求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线. 证明:(1)P是∠AOB角平分线上的一点, PC⊥OA,PD⊥OB ∴PC=PD 在Rt OPC和Rt OPD中, OP=OP,PC=PD, ∴Rt OPC≌Rt OPD(HL). ∴OC=OD(全等三角形对应边相等). (2)又OP是∠AOB的角平分线, ∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理). O B C D P A 跟踪练习3 已知:如图2,PB、PC分别是 ABC的外角平分线, 相交于点P. 求证:P在∠A的平分线上 A B C P D E 老师期望: 做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. 13 证明:作PD⊥AB,交AB延长线于D。PF⊥BC于F,PE⊥AC,交AC的延长线于点E ∵BP是角平分线 ∴PD=PF ∵PC是角平分线 ∴PE=PF ∴PD=PE ∴P在∠A的平分线上 F D E A B C P 跟踪练习3 当堂练习 1.如图,已知 ABC,求作一点P,使P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定P点的方法正确的是( ) A.P为∠A,∠B两角平分线的交点 B.P为∠A的平分线与AB的垂