1.4角平分线(2)学案 2023-2024学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.4角平分线（2）学案 学习目标： 1.经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，进一步体会证明的必要性． 2.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展推理证明意识和能力． 3.综合运用角平分线的性质定理和判定定理解决几何中的问题． 学习重难点： 重点：三角形三个内角的平分线的性质． 难点：综合运用角平分线的判定和性质定理解决几何中的问题． 学习过程 第一环节 情景导入 交流展示 生活情景：在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ 问题1： 1.如何确定的位置？ 2.确定的学校P位置，你能解释一下其中的道理吗？ 活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 活动2：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 通过尺规作图发现三角形的三个内角的 交于一点，根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离 ． 第二环节 合作探究 训练反馈 例2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。 试一试：类比三角形三边垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证来，并尝试完成证明过程． 已知：如图，在△ABC中，的角平分线BM、CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F．求证：∠BAC的角平分线经过点P, 且PD= PE = PF． ( P C B A D E F N M ) 归纳小结 比较对象 三边垂直平分线 三条角平分线 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 第三环节　例题讲解，应用提升 例:如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 跟踪练习1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N.求证：FE＝FD. 例：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 拓展：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积是 跟踪练习2 已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D。 求证： （1）OC＝OD； （2）OP是CD的垂直平分线． 跟踪练习3 已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线， 相交于点P. 求证：P在∠A的平分线上 当堂练习： 1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ） A.P为∠A，∠B两角平分线的交点 B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点 C.P为AC，AB两边上的高的交点 D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的　 ，AE+DE= . 3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A.△ABC 的三条中线的交点 B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 第1题图 第2题图 第3题图 4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB. 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 第