微专题(一) 巧用三线合一解决等腰三角形有关问题-【原创新课堂•广东专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件(北师大版)

数学 八年级下册 北师版 微专题(一)　巧用三线合一解决等腰三角形有关问题 原创新课堂 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．这就是著名的等腰三角形“三线合一”性质．“三线合一”性质常用来证明垂直、两线段相等和两角相等．反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形． 类型之一　利用三线合一直接计算 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4 cm，作AD⊥BC，垂足为点D，若AD＝4 cm，求AB的长． 2．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，求∠ACE的度数． 解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，又∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝60°－45°＝15° 3. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE.求∠E的度数． 4. 如图，点D，E在△ABC的BC边上，BD＝CE，AD＝AE.求证：AB＝AC. 证明：过点A作AP⊥BC于点P.∵AD＝AE，∴DP＝PE，∵BD＝CE，∴BP＝PC，∵AP⊥BC，∴AB＝AC 类型之二　利用三线合一作辅助线 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC. 6. 如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，AD＝BD.求证：CD⊥AC. 解： 解：∵AB＝AC，BC＝4 cm，AD⊥BC，∴BD＝ eq \f(1,2) BC＝2 cm，∵AD＝4 cm，∴AB＝ eq \r(AD2＋BD2) ＝2 eq \r(5) cm 解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝ eq \f(1,2) ×60°＝30°，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30° 证明：延长AO交BC于点D，在△ABO和△ACO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AO＝AO，,OB＝OC，)) ∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC 如图，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠AED＝90°.∵AD＝BD，∴AB＝2AE.又∵AB＝2AC，∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED和△ACD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AC，,∠EAD＝∠CAD，,AD＝AD，)) ∴△AED≌△ACD(SAS)，∴∠AED＝∠ACE＝90°，∴CD⊥AC $$