微专题(二) 等腰三角形中的证明-【原创新课堂•广东专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件(北师大版)

数学 八年级下册 北师版 微专题(二)　等腰三角形中的证明 原创新课堂 1. 证明线段的和差倍分问题大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题． 2. 转化是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的． 类型之一　和差倍分问题 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E.求证：BD＋DE＝AC. 证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°.∵AD是∠BAC的平分线，∴DC＝DE，∴BD＋DE＝BD＋CD＝BC.∵AC＝BC，∴BD＋DE＝AC 类型之二　构造等腰三角形证明问题 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC于点F.求证：DF＝EF. 5. 如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于点D. (1)求证：DP＝DQ； (2)过点P作PE⊥AC于点E，若BC＝4，求DE的长． 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，∠BAC＝120°，求证：DE＋DF＝ eq \f(1,2) BC. 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝ eq \f(1,2) BD，DF＝ eq \f(1,2) DC，∴DE＋DF＝ eq \f(1,2) BD＋ eq \f(1,2) DC＝ eq \f(1,2) (BD＋DC)＝ eq \f(1,2) BC 3. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，求证：BE＝ eq \f(1,2) CE. 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝30°，∴∠CAE＝120°－30°＝90°，在Rt△AEC中，∠C＝30°，∴AE＝ eq \f(1,2) CE，∴BE＝ eq \f(1,2) CE 解：如图，过点D作DM∥AC交BC于点M，则∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DMB，∴BD＝MD.∵BD＝CE，∴MD＝CE.在△DMF和△ECF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MDF＝∠E，,∠MFD＝∠CFE，,MD＝CE，)) ∴△DMF≌△ECF(AAS)，∴DF＝EF 解：(1)如图，过点P作PM∥BC，交AC于点M，则∠DPM＝∠Q，∠AMP＝∠ACB.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AMP＝60°，∴AP＝PM.又∵AP＝CQ，∴PM＝CQ，在△DPM和△DQC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DPM＝∠Q，,∠PDM＝∠QDC，,PM＝QC，)) ∴△DPM≌△DQC(AAS)，∴DP＝DQ (2)∵△DPM≌△DQC，∴DM＝DC.∵PE⊥AC，AP＝PM，∴AE＝EM，∴DE＝DM＋EM＝ eq \f(1,2) AC.∵在等边△ABC中，BC＝4，∴AC＝4，∴DE＝ eq \f(1,2) ×4＝2 $$