第一章 4 第1课时 角平分线的性质定理与判定定理-【原创新课堂•广东专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件(北师大版)

数学 八年级下册 北师版 第一章　三角形的证明 4　角平分线 第1课时　角平分线的性质定理与判定定理 原创新课堂 1. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离_____. 2. 如图所示，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则________． 相等 PD＝PE 3. 角平分线的判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的_________上． 4. 如图所示，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E且PD＝PE，则______________． 角平分线 OP平分∠AOB 【典例导引】 知识点一：角平分线的性质定理 5. 【例1】 如图，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC＝3，则点P到OB的距离为___． 3 【变式训练】 6. 如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是___． 2 7. 【例2】 (普宁期末)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C. 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC.求证：BD＝DF. 知识点二：角平分线的判定定理 9. 【例3】 如图，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：AP是∠BAC的平分线． 10. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，求证：AD平分∠FAC. 证明：如图，由点D分别向BE，BF，AC作垂线DG，DM，DN，∵BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，∴DG＝DM，DG＝DN，∴DM＝DN，∴AD平分∠FAC A组　夯实基础 11. 如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝5 cm，则OM的长为( ) A. 4 cm B．5 cm C．8 cm D．不能确定 B 12. 如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为( ) A. 5 B．6 C．7 D．8 B C 14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长． 15. (2022·茂名期中)如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA.求证：OP平分∠MON. 证明：∵∠PAB＝∠PBA，∴PA＝PB，∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，∴P点在∠MON的平分线上，∴OP平分∠MON 16. 如图，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，若AB＝AC.求证：AD平分∠BAC. C组　核心素养 17. (2022·广州模拟)如图，已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 解：如图，作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点，点P即为所求 18. 如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.求证： (1)OC平分∠ACD； (2)OA⊥OC； (3)AB＋CD＝AC. 证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,DE＝DF，)) ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠C 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DC＝DE，,∠C＝∠BED，,FC＝BE，)) ∴△DCF≌△DEB(SAS)，∴BD＝DF 证明：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AFP＝∠AEP＝90°.在Rt△AFP和Rt△AEP中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝AP，,AF＝AE，)) ∴Rt△AFP≌Rt△AEP(HL)，∴PF＝PE，又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴AP是∠BAC的平分线 B组　能力提升 13. (2022·鄂尔多斯)如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C.若EC＝2，则OD的长为( )　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．2 eq \r(3)