专题13 平行四边形之存在性问题（压轴题，20题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（人教版）

专题13 平行四边形之存在性问题（压轴题，20题）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图，点为坐标原点，四边形为矩形，边、分别在轴、轴上，，，且、满足． (1)求，两点的坐标； (2)把沿翻折，点落在处，线段与轴交于点，求的长； (3)在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负数的性质求得，得出，，根据矩形的性质即可求得点的坐标； （2）根据折叠的性质得出，进而设，在中，勾股定理即可求解； （3）分为对角线时，根据中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠 ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即，， （3）∵，，，设， 当为对角线时，，解得：， ∴； 当为对角线时，，解得：， ∴； 当为对角线时，，解得：， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（22-23八年级下·黑龙江双鸭山·期中）如图，将边长为8的等边三角形置于平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，过点O作于点C，过点B作轴于点D．若动点E从原点O出发，沿线段向点A运动，动点F从点A出发，沿线段向终点C运动，两点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，点E的运动时间为t秒，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动． (1)求点A、点D的坐标； (2)若的面积为S，请用含t的代数式表示S； (3)在坐标平面内是否存在一点M，使以A，B，D，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，则，得出，根据勾股定理得出，即可得出点A和点D的坐标； （2）过点F作于点G，得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据三角形的面积公式，即可列出代数式； （3）根据题意进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 综上：，； （2）解：过点F作于点G， ∵两点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，运动时间为t秒， ∴，则， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， ∴． ∴． （3）解：①当为平行四边形的边时，如图： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴或； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴可经过平移得到， ∵，， ∴点A向上平移个单位长度，向左平移8个单位长度得到点D， ∴点B向上平移个单位长度，向左平移8个单位长度得到点M， ∵，， ∴， ∴． 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握含的直角三角形，角所对的边是斜边的一半；平行四边形对边平行且相等． 3．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，，．点P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．    (1)求出点B、C的坐标； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，分别为，， 【分析】（1）根据题干条件和平行四边形的性质直接求解即可； （2）求出当时，点P、Q的具体坐标，然后利用“割补法”求出面积即可； （3）结合（2）中求出的点P、Q的具体坐标，然后根据平行四边形的存在性求解方法分类计算即可． 【详解】（1）解：如图1所示，作于点， ∵，， ∴，即：， ∴点C坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴点C坐标和点B坐标的纵坐标相等，， ∴点B坐标为， ∴点B、C的坐标为，；    （2）解：由题意，当时，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 如图2所示，过点作，交延长线于点，则，，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， 由题意，点的坐标为，则设点的坐标为， ①若为对角线， 则， 解得：， ∴； ②若为对